Demostrar que si $\dim V= n$ y $S$ es un subespacio (de dimensión $n-1$ ), entonces si $v$ no pertenece a $S$ : $\langle v \rangle + S$ es una suma directa

Question

Estaba haciendo ejercicios de suma directa y me encontré con este problema:

Supongamos que tiene un $k$ -espacio vectorial $V$ de dimensión $n$ y $S$ subespacio (de $V$ ) de dimensión $n-1$ .

I) Demuestre que si $v$ no pertenece a $S$ entonces $V = S \oplus \langle v \rangle .\quad$ (Suma directa)

II) Si existe otro subespacio $W$ de $V$ no incluido en $S$ entonces $V = S + W$ .

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En primer lugar, estaba pensando que puedo usar: $$ \dim S + \dim \langle v \rangle = n-1+1 = n = \dim V, $$ así que puedo probar que la intersección entre $S$ y $\langle v \rangle$ es igual a $0$ .

La primera opción para demostrarlo es decir que si existiera un elemento que perteneciera a la intersección, este elemento debería ser $v$ entonces $v$ pertenecería al subespacio $S$ (puedo explicarlo formalmente), lo cual es una contradicción. Pero no estoy seguro de si es la forma correcta de demostrarlo.

Por otra parte, para demostrar la segunda afirmación pensé que podría trabajar con el hecho de que si hay un elemento $V$ que pertenece a $V$ puede escribirse como una combinación lineal de elementos de $S$ y $W$ (Pero no estoy seguro de si estoy en el camino correcto y cómo debo continuar, agradecería una pista)

Answer 1

Sea $\{v_1,…,v_{n-1}\}$ ser base de $S$ . Afirmamos que $B=\{v_1,…,v_{n-1}, v\}$ es la base de $V$ . Basta con $B$ es linealmente independiente, ya que $|B|=n$ . Supongamos que $c_1v_1+…+c_{n-1}v_{n-1}+c_nv=0$ . Si $c_n\neq 0$ entonces $c_nv\notin S$ . Lo que implica $c_1v_1+…+c_{n-1}v_{n-1}=-c_nv\notin S$ . Así llegamos a la contradicción. Así que $c_n=0$ . Por independencia lineal de $\{v_1,…,v_{n-1}\}$ tenemos $c_i=0$ , $\forall 1\leq i\leq n-1$ . Por lo tanto $B$ es independiente y base de $V$ . Existen varias definiciones equivalentes de suma directa. Utiliza la que te resulte más cómoda.

No entiendo tu solución, concretamente "si existiera un elemento que perteneciera a la intersección". Después de mostrar $S\cap \langle v \rangle=\{0\}$ necesita $S+ \langle v \rangle=V$ . que es esencialmente resultado anterior (ampliación de la base).

Answer 2

Supongo $\langle v\rangle :=\text{span}(v)$ .

Es fácil demostrar el teorema de que la suma de dos subespacios $U$ y $W$ es una suma directa si y sólo si $U\cap W=\{0\}$ . Para utilizar este teorema, basta con demostrar que $S\cap \langle v\rangle=\{0\}$ . Y su razonamiento al mostrar la intersección es $\{0\}$ es correcto. Lo que no has mostrado(y yo tampoco) en la primera parte es que $V=S \oplus \langle v\rangle$ . Ya hemos demostrado que $S\cap \langle v\rangle=\{0\}$ . Utilizando la fórmula $$\dim(U+W)=\dim(U)+\dim(W)-\dim(U\cap W)$$ concluir que $\dim(S + \langle v \rangle)=n$ y así $V=S \oplus \langle v\rangle$ . Te dejo a ti probar que $\dim \langle v \rangle = 1$ .

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Para la segunda parte, la hipótesis de que $W$ no está contenido en $S$ implica que existe un vector distinto de cero $v$ tal que $v\notin S$ y $v\in W$ . Entonces demuestre que $v_1,\dots, v_{n-1},v$ es una base de $S+ W$ . En $v_1\dots, v_{n-1}$ es una base de $S$ . Puesto que tenemos $n$ vectores linealmente independientes, tenemos que $V= S + W$

Espero que le sirva de ayuda.