Norma en $C^{1}([0,T];H^{s}(\mathbb R^d))$

Question

Estoy leyendo el libro de texto de Evans sobre EDP y he encontrado que para probar la existencia de soluciones a una EDP utilizando estimaciones a priori, si uno elige el espacio $X=C([0,T];H^{s}(\mathbb R^d))$ la norma se define como $$\|u\|_{X}=\sup_{0\leq t\leq T} \|u\|_{H^s},$$ donde $H^s$ son sólo espacios de Sobolev.

Mi pregunta es cómo definir la norma para la EDP si elegimos $X=C^{1}([0,T];H^{s}(\mathbb R^d))$ ? ¿Es $$\|u\|_{X}=\sup_{0\leq t\leq T} \|u\|_{H^s}+\sup_{0\leq t\leq T} \|\partial_{t}u\|_{H^s}$$ o $$\|u\|_{X}=\sup_{0\leq t\leq T} \|u\|_{H^s}+\sup_{0\leq t\leq T} \|\nabla u\|_{H^s}?$$

Answer 1

El espacio $C^1([0,T],X)$ es el espacio de todas las funciones de $[0,T]$ à $X$ que son continuamente diferenciables. La norma es el $\sup$ -de la función y su derivada temporal. Por tanto, la primera opción es correcta. Para la segunda, existe la posibilidad de ambigüedad ya que $\nabla$ se utiliza normalmente para denotar la derivada con respecto a variables espaciales, no temporales.