Partición de polígonos en "conjuntos congruentes de polígonos".

Question

Definición: Dos conjuntos finitos de polígonos $A$ y $B$ son congruentes si podemos hacer coincidir polígonos en $A$ de manera unívoca con polígonos en $B$ con cada par de polígonos coincidentes mutuamente congruentes.

Pregunta: Para cada número entero $n$ ¿se puede dividir cada polígono en $n$ conjuntos de polígonos tales que los conjuntos sean congruentes entre sí?

Observaciones: Para $n =2$ la respuesta es sí. En efecto, se triangula la entrada $m$ -y corta cada triángulo en 3 polígonos cometa ( https://en.wikipedia.org/wiki/Kite_(geometría) ) que se encuentran en un vértice común en el incentro del triángulo, resultando así un total de $\sim 3m$ cometas. A continuación, cortamos cada cometa en 2 triángulos mutuamente congruentes y enviamos cada triángulo a uno de los conjuntos de salida. Este enfoque da como resultado 2 conjuntos congruentes de polígonos (en realidad, triángulos) con $\sim 3m$ elementos cada uno. Para $n=4$ se puede tomar el $n=2$ y dividir cada pieza triangular de cada conjunto mediante cometas en 2 conjuntos congruentes de 3 triángulos cada uno, obteniendo así 4 conjuntos congruentes entre sí con $\sim 9m$ triángulos cada uno. Este enfoque debería funcionar para todas las potencias de 2 valores de $n$ . Una pregunta natural aquí es si podemos arreglárnoslas con menos número de piezas en cada conjunto congruente.

Adivina: Para otros valores de $n$ incluso 3, la respuesta puede ser "no siempre". No tengo pruebas de ello.

Answer 1

Por el teorema de Wallace-Bolyai-Gerwien basta con cortar el polígono en $n$ conjuntos de igual área, lo que ciertamente puede hacerse por continuidad del área a un lado de una línea a medida que se mueve la línea a través de la forma. Si alguno de los conjuntos es discontinuo, puedes reorganizar las piezas para hacerlo contiguo. A continuación, aplica WBG para reorganizar cada conjunto en la forma de uno elegido arbitrariamente. Por último, toma la unión de los cortes de cada conjunto reorganizado y aplica los mismos cortes a todos ellos.

Answer 2

Cada $n$ es posible.

Como señalas, basta con responder a la pregunta para los triángulos. Se puede dividir un triángulo $T$ en $n^2$ triángulos congruentes semejantes a $T.$ A continuación, pueden dividirse en $n$ conjuntos de $n$ que son congruentes como conjuntos y, de hecho, tienen todos sus miembros congruentes.

Es interesante observar que, si se triangula un $m$ -gon $P$ en $k \geq m-2$ triángulos y siga este procedimiento obtendrá $kn^2$ triángulos en $k$ clases de congruencia. Éstas pueden ensamblarse en $n^2$ congruente $m$ -gonos similares a $P$ y triangulado de la misma manera.

Defina $k_n$ ser el menos $k$ de modo que cada triángulo pueda triangularse a su vez en $nk_n$ pequeños triángulos con $k_n$ clases de congruencia. Equivalentemente, en $n$ conjuntos congruentes por pares (en el sentido de la pregunta) cada uno de tamaño $k_n.$ Entonces ciertamente cualquier $m$ -gon puede dividirse en $(m-2)$ triángulos y luego en $n$ conjuntos congruentes por pares, cada uno de tamaño $(m-2)k_n.$ Parece plausible que esto sea óptimo, aunque justificarlo con una prueba podría ser un reto.

• Sabemos que $k_n \le n.$
• $k_{t^2}=1$
• Si $n=st^2$ con $s$ cuadrado libre, entonces $k_n \le k_s$

Parece plausible que $k_{st^2}=k_s,$ pero, de nuevo, eso no es una prueba.

Sin embargo, parece más fructífero concentrarse en $k_s$ Para $s$ cuadrado libre.

• $k_2=2$
• $k_3=2$ (dividir en cometas y luego bisecar cada una).
• $k_{ab} \leq k_ak_b$ ya que podemos dividir cada una de $k_a$ tipos en $k_b$ subtipos. En particular:
• $k_{3s} \le 2k_s$

Sospecho que $k_p=p$ para prime $p \neq 2.$ Si es así, entonces el último resultado es el único uso interesante del resultado anterior.