¿Cuándo una ecuación diferencial como la de Schrodinger es separable en algún sistema de coordenadas?

Question

¿Cuándo una ecuación diferencial como la de Schrodinger es separable en algún sistema de coordenadas? ¿Qué se necesita para satisfacer el potencial?

Answer 1

Parece que la respuesta se da en el siguiente artículo: L. P. Eisenhart, "Enumeration of potentials for which one-particle Schroedinger equations are separable", Phys. Rev. 74, 87-89 (1948). La lista es demasiado larga para darla aquí.

Answer 2

No estoy del todo seguro de lo que intentas preguntar, pero creo que es lo siguiente: ¿Cuándo es separable la ecuación de Schrodinger (o una ecuación diferencial similar)? ¿Qué condiciones debe satisfacer la función potencial?

La respuesta corta es que la ecuación de Schrodinger es separable cuando el potencial es independiente del tiempo (aunque puede haber potenciales independientes del tiempo que también funcionen).

Una ecuación diferencial de dos variables independientes es separable si la ecuación puede manipularse algebraicamente de forma que sólo aparezca un tipo de variable en cada lado de la ecuación. En el caso de una ecuación diferencial parcial (es decir, la ecuación de Schrodinger) la variable dependiente puede escribirse como un producto de funciones de las dos variables independientes; es decir

$$ \Psi(x,t) = \rho(x)\phi(t) $$

Si aplicamos la ecuación de Schrodinger a esta "suposición" y suponemos $V$ es independiente del tiempo encontramos (después de unos pasos):

$$ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2\rho}{dx^2} = (E-V)\rho $$

para y $E=$ constante.

Nótese que esta ecuación es una ecuación diferencial ordinaria aunque hayamos empezado con una ecuación diferencial parcial. Más importante aún, puesto que $\rho(x)$ es independiente del tiempo, y por lo tanto también lo es toda esta ecuación. De ahí que se denomine ecuación de Schrodinger independiente del tiempo.

Se trata esencialmente de una versión abreviada de la derivación proporcionada en el libro de Griffith.