¿Es verdad o mentira? $\log(f(n)) = o(\log(g(n))) \implies f(n) = o(g(n))$ ?

Question

$\log(f(n)) = o(\log(g(n))) \implies f(n) = o(g(n))$ ?

¿Esta afirmación es verdadera o falsa? ¿Y cómo se puede demostrar?

Creo que es cierto, ya que las diferencias de crecimiento tienen aún más impacto sin el tronco. Pero, ¿cómo demostrarlo?

Answer 1

Tenga en cuenta que

$$\log(f(n)) = o(\log(g(n))) \iff \log(f(n)) = \omega(n)\cdot \log(g(n)) \qquad \omega(n) \to 0$$

entonces

$$\implies e^{log(f(n))} = e^{\omega(n)\cdot \log(g(n))}$$

$$\implies f(n) =(g(n))^{ \omega(n)}$$

por lo que no parece cierto en general.

Intentemos encontrar un contraejemplo, es decir

• $f(n)=\left(\frac1{n}\right)^{\frac1n}$
• $g(n)=\frac1n$