Secuencia de números complejos convergentes a un valor en el espectro de un elemento en un álgebra de Banach conmutativa

Question

Sea $A$ sea un álgebra de Banach unital conmutativa sobre $\mathbb{C},$ $x \in A$ y $\mu \in \sigma(x),$ donde $\sigma(x)$ denota el espectro de $x.$

¿Es cierto que si $(x_n)_{n=1}^\infty$ es una secuencia en $A$ convergiendo hacia $x,$ entonces existe una secuencia $(\mu_n)_{n=1}^\infty$ en $\mathbb{C}$ convergiendo hacia $\mu$ tal que $\mu_n \in \sigma(x_n)$ para todos $n \in \mathbb{N}?$

Agradeceremos cualquier ayuda.

Answer 1

Sea $\hat A$ denotan el espacio de caracteres (homomorfismos de $A$ à $\Bbb C$ ). Obsérvese que para cualquier $x \in A$ , $\sigma(x) = \{\gamma(x) : \gamma \in \hat A\}$ .

Podemos seleccionar $\gamma \in \hat A$ tal que $\gamma(x) = \mu$ . Dada una secuencia $x_n \to x$ la secuencia $\mu_n = \gamma(x_n)$ es tal que $\mu_n \in \sigma(x_n)$ y $\mu_n \to \mu$ .