Supongamos que X e Y son variables aleatorias de Poisson independientes con media 1 y 3 respectivamente. Hallar Hallar P(X≤Y|X+Y =1)

Question

Tengo problemas para encontrar P(XY|X+Y =1). Sé que una probabilidad condicional va a ser (P(XY)AND P(X+Y =1)/ P(X+Y =1).

No estoy seguro de cómo encontrar estas variables separadas en el sentido multivariable. Me doy cuenta de que se distribuyen de forma independiente, ¿eso significa que se pueden multiplicar las probabilidades de Poisson individuales?

No sé cómo visualizar las partes separadas de esta probabilidad condicional, así que creo que ahí está mi principal problema. Entiendo estos problemas para distribuciones condicionales, pero los problemas discretos no los he visualizado bien.

¿El denominador sería ((e^-1/1!))(3e^-3/1!))?

¿Cómo hallaría entonces la probabilidad X

Answer 1

Desde $X+Y=1$ debemos tener $(X,Y)=(1,0)$ o $(X,Y)=(0,1)$

Calculamos:

$$P(1,0)=P(X=1)\times P(Y=0)=\frac {1^1\times e^{-1}}{1!}\times \frac {3^0\times e^{-3}}{0!}=e^{-4}$$

$$P(0,1)=P(X=0)\times P(Y=1)=\frac {1^0\times e^{-1}}{0!}\times \frac {3^1\times e^{-3}}{1!}=3e^{-4}$$

Así $P(X+Y=1)= 4e^{-4}$

Como único caso en el que $X≤Y$ y $X+Y=1$ es $(X,Y)=(0,1)$ obtenemos la respuesta final $$\frac {3e^{-4}}{4e^{-4}}=\boxed {\frac 34}$$