Logarítmica Integral II

Question

Mientras que la revisión de un viejo libro de cálculo de la siguiente integral fue asignado: \begin{align} \int_{0}^{1} \left( x^{a-1} - x^{n-a-1} \right) \, \frac{\ln^{2}x \, dx}{1-x^{n}} = \frac{2 \, \pi^{3} \, \cos\left(\frac{a \pi}{n}\right)}{n^{3} \, \sin^{3}\left(\frac{a \pi}{n}\right)} \end{align} para $a \neq n$. Las preguntas que se proponen aquí son:

1. ¿Cuáles son algunos métodos para probar que la integral dada?
2. ¿Cuáles son los cambios si la potencia del logaritmo se reduce a uno o elevado a 3?

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El antiguo libro de cálculo es: Un Ralph Roberts, "Un tratado sobre el cálculo integral; parte 1", 1887. El propoblem que aquí se presenta se encuentra en la página 354 como ejemplo 36. El libro se puede encontrar en la colección de Libros de Google.

Answer 1

Que no es muy difícil. Uno sólo tiene que demostrar que: $$\int_{0}^{1}\frac{x^{a}-x^{n+a}}{1-x^n}\cdot\frac{dx}{x}=\frac{1}{a},\qquad \int_{0}^{1}\frac{x^{a}-x^{n-a}}{1-x^n}\cdot\frac{dx}{x} = \frac{\pi}{n}\,\cot\left(\frac{\pi a}{n}\right)\tag{1}$$ que sigue, por ejemplo, a partir de la reflexión de la fórmula para la función digamma o a partir de los residuos teorema, entonces diferenciar la línea anterior con respecto a $a$ el número correcto de veces. Otra posibilidad está dada por la explotación de:

$$ \int_{0}^{1}x^{\alpha-1} \log(x)^k\,dx = \frac{(-1)^k k!}{\alpha^{k+1}}\tag{2}$$ junto con: $$ \psi'(z)=\sum_{n\geq 0}\frac{1}{(z+n)^2},\quad \sum_{n\geq 0}\frac{1}{(n+z)^k} = \frac{(-1)^k}{k!}\, \psi^{(k-1)}(z)\tag{3}$$ de los cuales: $$\int_{0}^{1}\frac{x^{a/n}}{1-x}\cdot\frac{\log(x)^k}{x}\,dx = (-1)^k k!\sum_{m\geq 0}\frac{1}{\left(m+\frac{a}{n}\right)^{k+1}}=\psi^{(k)}\left(\frac{a}{n}\right).\tag{4}$$

Answer 2

Poco largo para un comentario, pero pensé que podría añadir a mi (incompleta) poco... voy a acabar con ella / eliminar cuando tengo un poco más de tiempo.

Utilizando el cambio de variable $x=e^y$ da $$I=-\int_0^\infty z^2\text{csch}\left(\frac{nz}{2}\right)\sinh\left(az-\frac{nz}{2}\right)dz=-\int_0^\infty z^2\frac{\sinh\left(az-\frac{nz}{2}\right)}{\sinh\left(\frac{nz}{2}\right)}dz.$$ Puesto que el integrando es una función par tenemos $$I=-\frac{1}{2}\int_{-\infty}^\infty z^2\frac{\sinh\left(az-\frac{nz}{2}\right)}{\sinh\left(\frac{nz}{2}\right)}dz..$$ Para $n>a$ creo que el semi-circular integral para $z=Re^{i\theta}$ donde $0\leq\theta<\pi$ tiende a cero, como se $R\to\infty$, en cuyo caso podemos sumar los residuos en el plano complejo sobre el eje real. No estoy seguro si esto converge todavía, pero va a echar un vistazo pronto a menos que alguien más lo haga !

Answer 3

Este es trivial. Todo lo que tienes que hacer es aviso de que $x^a-x^b=(1-x^b)-(1-x^a)$, y, a continuación, reconocer la expresión en cuestión como una combinación lineal de segundo orden derivados de la generalizada armónica de los números. Ya que éstas son umbilically conectado a digamma funciones, el uso de la reflexión de la fórmula para llegar al resultado deseado.