Una duda sobre la Proposición 5.1.12 de Geometría algebraica y curvas aritméticas de Liu.

Question

Sea $X$ sea un esquema. Sea $0 \to \mathcal{F} \to \mathcal{G} \to \mathcal{H} \to 0$ sea una secuencia exacta de $\mathcal{O}_X$ -módulos. Si dos de ellos son casi coherentes, el tercero también lo es.

Este es el punto $(d)$ de la Proposición 5.1.12 de Geometría algebraica y curvas aritméticas de Liu. Sólo necesito mostrar el caso en el que $\mathcal{F}$ y $\mathcal{H}$ son casi coherentes. Por la naturaleza local de las láminas cuasi-coherentes, podemos suponer que $X$ es afín. Sabemos por la Proposición 1.8 del mismo libro que la sucesión

$0 \to \mathcal{F}(X) \to \mathcal{G}(X) \to \mathcal{H}(X) \to 0$

es exacta. Ahora se dice que tenemos un diagrama conmutativo

$\require{AMScd}$ $$\begin{CD} 0 @>>> \mathcal{F}(X)' @>>> \mathcal{G}(X)' @>>> \mathcal{H}(X)' @>>>0\\ & @VVV @VVV @VVV \\ 0 @>>>\mathcal{F} @>>> \mathcal{G} @>>> \mathcal{F} @>>>0 \end{CD}$$

Con $\mathcal{F}(X)',\mathcal{G}(X)',\mathcal{H}(X)'$ i indican las gavillas de $\mathcal{O}_X$ -inducidos por los módulos $\mathcal{F}(X),\mathcal{G}(X),\mathcal{H}(X)$ . La primera y la última flecha vertical son los isomorfismos que tenemos por hipótesis. No entiendo cómo se define la flecha vertical en el centro del diagrama anterior y por lo tanto no puedo entender por qué el diagrama es conmutativo.

Answer 1

Sea $X = \operatorname{Spec}A$ sea un esquema afín. Si $M$ es un $A$ -existe una gavilla asociada de $\mathcal O_X$ -módulos $\widetilde{M}$ definido de la forma habitual definiendo $\widetilde{M}(U)$ ser un cierto $\mathcal O_X(U)$ -submódulo de

$$\prod\limits_{\mathfrak p \in X} M_{\mathfrak p}$$ Sea $\mathcal F$ sea una gavilla de $\mathcal O_X$ -de modo que $\mathcal F(X)$ es un $\mathcal O_X(X) = A$ -módulo. Entonces $\widetilde{\mathcal F(X)}$ es una gavilla de $\mathcal O_X$ -según la definición anterior.

Existe un morfismo asociado de gavillas de $\mathcal O_X$ -módulos $\theta = \theta_{\mathcal F}:\widetilde{\mathcal F(X)} \rightarrow \mathcal F$ . Creo que tu pregunta se reduce a preguntar:

1 . ¿Cómo se $\theta$ definido?

2 . ¿Por qué $\theta$ natural? (esto implicará la conmutatividad del diagrama) En otras palabras, si $\alpha: \mathcal F \rightarrow \mathcal G$ es un morfismo de gavillas de $\mathcal O_X$ -deberíamos obtener otro morfismo $\widetilde{\alpha}: \widetilde{\mathcal F(X)} \rightarrow \widetilde{\mathcal G(X)}$ como en su diagrama, y debería satisfacer $\alpha \circ \theta_{\mathcal F} = \widetilde{\alpha} \circ \theta_{\mathcal G}$ .