Demostrar que un conjunto es un subespacio vectorial

Question

En el espacio $\mathbb{R_3}[x]$ polinomios de grado 3 como máximo, se da un conjunto: $$ V = \{p \in \mathbb{R_3}[x]; p''(1) = p'(1), p(1) = 0 \} $$ Demostrar que $V$ es un subespacio vectorial en $\mathbb{R_3}[x]$

He intentado trabajar en ello pero no estoy seguro de que sea correcto:

Sea $p, q \in \mathbb{R_3}$

$$(\alpha p + \beta q)(1) = \alpha p(1) + \beta q(1) = 0 + 0 = 0$$

$$\begin{align}(\alpha p'' + \beta q'')(1) & = \alpha p''(1) + \beta q''(1) \\ & = \alpha p'(1) + \beta q'(1) \\ & = (\alpha p' + \beta q')(1)\end{align}$$

Answer 1

Deberías mencionar que $0$ que es el polinomio cero se encuentra en $V$ que muestra la no vacuidad y que $(c\cdot p)$ se encuentra en $U$ para todos $p\in U$ y $c\in \Bbb{R}$ .

Es decir $(c\cdot p)(1)= c\cdot p(1)= 0 $ y $(c\cdot p)''(1) = c\cdot p''(1)=c\cdot p'(1)=(c\cdot p)'(1) $ .

Para demostrar que un subconjunto no vacío $U$ es un subespacio de un espacio vectorial $V$ sobre un campo $\Bbb{F}$ debe demostrar que $u_{1}+u_{2}\in U\,,\forall u_{1},u_{2}\in U$ y $c\cdot u\in U\,,\forall u\in U,c\in\Bbb{F} $ (en este caso $c\in \Bbb{R}$ ).