Si $b_n=a_n+a_{n+1}$ converge a $L$ . ¿Cómo puedo demostrar que $\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{n}=0$

Question

Si $b_n=a_n+a_{n+1}$ converge a $L\in\mathbb{R}$ . ¿Cómo puedo demostrar que $$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{n}=0$$

Answer 1

Sea $\epsilon > 0$ . Tenemos que demostrar que a partir de cierto punto $|a_n| < n \epsilon$ . Sabemos que para $n \geq k$ tenemos $$|a_n + a_{n+1} - L| < \frac{\epsilon}{2}.$$ De ello se deduce que $$|a_{n+2} - a_{n}| \leq |a_{n+2} + a_{n+1} - L| + |-a_{n+1} - a_n + L| < \epsilon.$$

Para $n > k$ tenemos $|a_n| < \textrm{max}(|a_k|,|a_{k+1}|) + \frac{n-(k+1)}{2} \epsilon$ . Para $n$ muy grande estará limitado por $n \epsilon$ según se desee.

Por cierto, la secuencia $a_n$ no está acotada en general. Por ejemplo $a_0 = 1, a_{2n} = a_{2n-2} + \frac{1}{n}$ y $a_{2n+1} = -a_{2n}$ .

Answer 2

Tenga en cuenta que $b_{n+1}-b_n = a_{n+2}-a_n$ . Bastará con demostrar que $$\lim_{n\to\infty}\frac{a_{2n}}{2n}=0$$ $$\lim_{n\to\infty}\frac{a_{2n+1}}{2n+1} = 0$$

Desde $$\lim_{n\to\infty}\frac{a_{2n+2}-a_{2n}}{2(n+1)-2n}=\lim_{n\to\infty}\frac{b_{2n+1}-b_{2n}}{2}=0$$ (ambos $b_{2n+1}$ y $b_{2n}$ tienden a $L$ ), entonces por Teorema de Stolz-Cesàro se demuestra la primera. Análogamente se puede demostrar la segunda, ya que $$\lim_{n\to\infty}\frac{a_{2n+3}-a_{2n+1}}{2(n+3)-(2n+1)}=\lim_{n\to\infty}\frac{b_{2n+2}-b_{2n+1}}{2}=0$$

Answer 3

Basándome en la respuesta de Arthur, he aquí una respuesta a mi pregunta.

Desde $b_n$ converge a $L$ para cualquier $\epsilon>0$ hay un $N\in\mathbb{N}$ tal que $n\geq N$ implica $|b_n-L|=|a_n+a_{n+1}-L|<\epsilon/2$ . Entonces, para $n\geq N$ tenemos \begin{align*} |a_{n+2}-a_n|&\leq|a_{n+2}+a_{n+1}-L+L-a_{n+1}-a_{n}|\\ &\leq |a_{n+2}+a_{n+1}-L|+|a_{n+1}+a_n-L|\\ &=\epsilon\,.\end{align*} Para una $n>>N$ obtenemos \begin{align*} |a_{n+2}-a_N|&=|a_{n+2}-a_n+a_n-a_{n-2}+a_{n-2}+a_{n-1}+\cdots+a_{N+2}-a_N|\\ &\leq |a_{n+2}-a_n|+|a_n-a_{n-2}|+\cdots+|a_{N+4}-a_{N+2}|+|a_{N+2}-a_N|\\ &\leq |a_{N+n+2-N}-a_{N+n-N}|+|a_{N+n-N}-a_{N+n-2-N}|+\cdots+|a_{N+4}-a_{N+2}|+|a_{N+2}-a_N|\\ &< \epsilon\left(\frac{n+2-N}{2}\right) \end{align*} Reescribiendo la última desigualdad: $$-\left(a_N+\epsilon\left(\frac{n+2-N}{2}\right)\right)\leq a_{n+2}\leq a_N+\epsilon\left(\frac{n+2-N}{2}\right)\,,$$ y $$-\left(\frac{|a_N|}{n+2}+\frac{\epsilon N}{n+2}+\frac{\epsilon}{2}\right)\leq \frac{ a_{n+2}}{n+2}\leq \frac{|a_N|}{n+2}+\frac{\epsilon N}{n+2}+\frac{\epsilon}{2}\,.$$ Tomando un límite de $n\rightarrow\infty$ ya que $a_N$ y $N$ son números fijos, obtenemos $$-\frac{\epsilon}{2}<\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_{n+2}}{n+2}<\frac{\epsilon}{2}\,.$$ Dado que la desigualdad anterior se cumple para cualquier elección de $\epsilon,$ obtenemos $$\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{a_n}{n}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{a_{n+2}}{n+2}=0\,.$$