Cuestiones sobre bolas abiertas y convergencia en el espacio de Hilbert

Question

Así que he empezado a leer sobre teoría de dimensiones y actualmente estoy tratando con un lema que se utiliza en una demostración de $\dim(\mathcal{\ell}^{2}_{\mathbb{Q}})=1$ . Este lema dice que la convergencia de una secuencia en una esfera en $\mathcal{\ell^2}$ a un vector en la esfera es lo mismo que la convergencia por coordenadas y se expresa de la siguiente manera:

Sea $x=(x_{i})^{\infty}_{i=1} $ , $x^n=(x^{n}_{i})^{\infty}_{i=1} \in \ell^2$ para cada $n=1, 2, \ldots$ tal que $\left\|x^n\right\|=\left\|x\right\|$ para cada $n$ . Entonces $x^n \rightarrow x \iff x^{n}_{i} \rightarrow x_{i}$ para cada $i$ .

Tengo dos problemas y necesito ayuda. Espero que las preguntas estén claramente expuestas.

1. Sé que, en general, la convergencia por coordenadas no implica convergencia en espacios de dimensión infinita (o en $\ell^2$ en este caso), pero no veo por qué se sostendría en este caso. Sólo necesito una explicación de la idea o de fondo.

2. Si quiero describir un balón abierto en $\ell^2$ espacio (en sentido topológico) ¿lo hago diciendo que esta bola abierta contiene todas las sucesiones cuadradas sumables (acotadas) cuyos límites están en el cierre de esa bola? El problema es que no entiendo muy bien cómo los conjuntos abiertos en topología sobre $\ell^2$ (que se hereda de la topología del producto).

$\ell^2$ es el espacio de Hilbert de todas las secuencias cuadradas sumables de números reales.

Answer 1

1. Las pruebas utilizan fuertemente la estructura del espacio de Hilbert, y más concretamente el producto interior. Obsérvese que $$\lVert x^ n-x\rVert^2=2(\lVert x\rVert^2-\langle x,x^n\rangle).$$

2. No estoy seguro de qué tipo de descripción quieres: la bola abierta del centro $x$ y radio $r$ se compone de todos los $y$ para lo cual $$\sum_{n=1}^{+\infty}|x_n-y_n|^2\lt r.$$