El anillo de idempotents

Question

Deje $R$ ser un anillo conmutativo. Luego de su anillo de idempotents $I(R)$ se compone de la idempotente elementos de $R$, con la misma multiplicación como en $R$, pero con la nueva adición a $x \oplus y := x+y-2xy$. (Esta adición se puede ver un poco misterioso, pero a la hora de identificar idempotente elementos con el clopen subconjuntos de a $\mathrm{Spec}(R)$ través $x \mapsto D(x)$, $I(R)$ es nada más que el álgebra booleana de clopen subconjuntos con la multiplicación $\cap$ además $\Delta$.)

Obtenemos un functor $I : \mathsf{CRing} \to \mathsf{Bool}$ donde $\mathsf{CRing}$ indica la categoría de anillos conmutativos y $\mathsf{Bool}$ la categoría de anillos booleanos. Mi pregunta es: ¿este functor $I$ tiene a la izquierda o a la derecha adjunto? O $I(R)$ tiene alguna característica universal?

Answer 1

En un anillo booleano cada elemento es idempotente y, dado que la característica es$2$,$x\oplus y=x+y$. Así, por un anillo booleano $B$, $I(B)=B$. Si $i$ denota la incorporación functor $\mathsf{Bool}\to\mathsf{CRing}_2$, la categoría de los anillos, con características de $2$. Esto sugiere que hay una contigüidad entre el$i$$I$, debido a $I(i(B))=B$.

En el caso de la característica $2$, $\oplus$ funcionamiento es el mismo que $+$, por lo que la contigüidad es casi obvia, porque no se trata sólo de componer con la inclusión $I(R)\hookrightarrow R$.

No hay ningún general de la contigüidad de la incrustación $\mathsf{Bool}\to\mathsf{CRing}$, debido a que no hay ningún anillo de morfismos de un booleano anillo un anillo con, digamos, característicos $0$.

Answer 2

Este functor es representada por el libre idempotente, o $\mathbb{Z}[x]/(x^2 - x) \cong \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$. La declaración de que la correspondiente functor a conjuntos de hecho ascensores de los anillos Booleanos dice que $\text{Spec } \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$, naturalmente, tiene la estructura de un anillo Booleano objeto en $\text{Aff}$. Esta estructura se procede de la siguiente construcción en general:

Deje $C$ ser un distributiva de la categoría, por que me refiero a una categoría con un límite, co-productos y finito productos que la última distribuir sobre el primero. El ejemplo relevante aquí es $\text{Aff}$. Deje $1$ denotar la terminal de objeto, y deje $2 = 1 + 1$. En $\text{Aff}$ la terminal de objeto es $\text{Spec } \mathbb{Z}$ y, por tanto, $2$ es el espectro de la libre idempotente.

Ahora me dicen que no es natural functor (de la distribución de las categorías de $\text{FinSet}$ $C$el envío de la de un elemento del conjunto a $1$. Yo reclamo que $2$ es, naturalmente, un anillo Booleano objeto en $\text{FinSet}$ (de hecho, el pleno de la subcategoría de $\text{FinSet}$ sobre los poderes de $2$ es, precisamente, el Lawvere teoría de anillos Booleanos, o, equivalentemente, de álgebras Booleanas), y esta estructura es transportado a un valor Booleano estructura de anillo en $2$$C$.