¿Qué sucede con la mitad de la energía en un circuito con un capacitor?

Question

Para un circuito simple con una batería suministrando un voltaje $V$ a un capacitor, asumamos que la carga en el capacitor es $Q$. Ahora, el trabajo realizado por la batería o la energía suministrada se da por la relación:

$$W=QV$$

Pero la energía almacenada en el capacitor se da por:

$$U = \tfrac12 QV$$

El valor de $Q$ así como el de $V$ deben ser los mismos en ambas ecuaciones.

Ahora mi pregunta es, ¿dónde está la otra mitad de la energía que la batería suministró?

Answer 1

En el momento en que el circuito se completa, el capacitor tiene un voltaje de cero, mientras que la fuente tiene $V$. Esta diferencia de voltaje crea un campo eléctrico que acelera cargas. Esta aceleración establece una corriente.

A medida que fluye la corriente, el capacitor se carga hasta que el voltaje también alcanza $V$. En este punto, no hay diferencia de voltaje. Pero las cargas aceleradas siguen moviéndose. Entonces, la mitad de la energía ha ido al capacitor y (ignorando pérdidas) la otra mitad ha ido a la corriente en el alambre. La corriente seguirá fluyendo, cargando el capacitor por encima de $V$ hasta que la corriente se detenga. Esto es sobrepasar. Luego, como existe una diferencia de potencial, la corriente fluirá en la dirección opuesta. La corriente y el voltaje oscilan durante un período. Este comportamiento de oscilación en el circuito es resonancia. La resistencia en el circuito eventualmente eliminará esta energía adicional, dejando solo el capacitor cargado.

Esto es muy similar a suspender una bola de un resorte y soltarla. Puede ser bajada lentamente al nuevo punto de equilibrio, o puede ser soltada y oscilará por encima y por debajo del nuevo equilibrio hasta que las pérdidas por fricción eliminen la energía adicional.

Answer 2

¿Dónde está la otra mitad de la energía que suministró la batería?

La mitad de la energía suministrada se disipa en la resistencia que estará presente en cualquier circuito real.

Para un circuito RC simple como el siguiente, el interruptor se cerrará en el tiempo t=0 y el capacitor estará inicialmente sin cargar.

La constante de tiempo, τ, es RC = 0.05 segundos. Por lo tanto, dentro de 5 constantes de tiempo (0.25 segundos) la transitoria está sustancialmente finalizada. Las ecuaciones de rendimiento para este circuito se muestran a continuación. $$ i(t) = \frac{V}{R} e^{\frac{-t}{RC}} $$ $$ V_C(t) = V(1-e^{\frac{-t}{RC}}) $$

Con V = 12 voltios, R = 5 ohmios y C = 10,000 µF, podemos encontrar la energía entregada a la resistencia y al capacitor (que suman a la energía entregada por la batería) en este caso específico.

El capacitor terminará asintóticamente acercándose a 12V, por lo que eventualmente almacenará en su campo eléctrico la siguiente energía: $$U = \frac{1}{2}CV^2 = 0.72 J$$

La resistencia disipará la potencia i-cuadrado-r (como señala R.W. Bird): $$i(t)^2*R = \frac{144}{5}e^{-40t} $$ Lo cual, al integrar, nos dará la energía total disipada en la resistencia: $$U_R = \int_0^\infty \frac{144}{5}e^{-40t}dt = 0.72 J$$

Usando una herramienta de simulación transitoria, ATP a través de ATPDraw gui, podemos trazar estas transitorias incluyendo la energía entregada a la resistencia y al capacitor. Observa cómo las trazas de energía del resistor (rojo) y del capacitor (verde) se fusionan justo después de 5 constantes de tiempo. Mostrando que la mitad de la energía suministrada por la fuente ha sido entregada a la resistencia (que la disipa como calor) y la otra mitad está ahora almacenada de forma segura en el campo eléctrico del capacitor.

Answer 3

Considera cómo se carga el capacitor con el tiempo. Ingenuamente, dado que no hay resistencia o inductancia, la corriente en el circuito instantáneamente se vuelve infinita, luego se apaga instantáneamente. Esto es matemáticamente indefinido e irreal. Para entender lo que realmente está sucediendo, tenemos que tener en cuenta las características no ideales del circuito, como la resistencia o la autoinductancia. Si la resistencia domina (sobreamortiguamiento), el capacitor se carga monótonamente, como en un circuito $RC$. Si la inductancia domina (subamortiguamiento), el voltaje del capacitor oscila alrededor de $\mathcal{E}$, hasta que finalmente se estabiliza debido a la resistencia.

En el primer caso, la mitad de la energía suministrada por la batería se pierde en forma de calor en el circuito. En el segundo caso, las oscilaciones LC se amortiguan eventualmente por una combinación de resistencia ordinaria y resistencia de radiación, es decir, la mitad de la energía se convierte en calor o en ondas electromagnéticas.

Hay cierta discrepancia en las respuestas existentes sobre cuál de estas dos imágenes es correcta, pero en realidad, cualquiera puede ser correcta. Depende de cuán grandes sean la inductancia y la resistencia del circuito.

Answer 4

Su error radica en suponer que el capacitor tiene un voltaje V igual al de la batería en $t = 0$. No es así. Por lo tanto, tu ecuación $W = QV$ es simplemente incorrecta. Cualquier circuito real, al cual se apliquen las leyes de Kirchhoff, tendrá una resistencia. Por la ley de Kirchoff:

$V_b = IR + Q/C$

Diferencia para obtener:

$\frac{dI}{dt} = -I/(CR)$

Resuelve esa ecuación con la condición inicial apropiada y verás que la corriente y la carga en el capacitor (y por lo tanto el voltaje a través de él) se aproximan al valor de equilibrio exponencialmente.

Answer 5

Como se señaló en algún comentario, los electrones están siendo acelerados en el proceso de carga. Esto genera radiación electromagnética. Intenta hacer el cálculo usando el vector de Poynting, la forma en que Maxwell definió la energía electromagnética.