Simplificar aún más las ecuaciones algebraicas geométricas

Question

En el Figura a continuación, los segmentos de línea $OA$ y $OB'$ hacer ángulo $\theta$ y $-\theta$ respectivamente con el eje x positivo. Del mismo modo $AB$ es ortogonal al eje x con $D$ el punto de intersección y sea $d$ sea la distancia entre el punto $O$ y $D$ .

$AB$ se inclina alrededor del punto $D$ por un desconocido ángulo $\beta$ (en sentido contrario a las agujas del reloj) para formar $A'B'$ como se muestra en la figura.

Mi pregunta es dado que las variables $\theta,\, d, \, y_1$ y $y_2$ son conocidos (experimentalmente), ¿cómo puedo encontrar el valor de $\beta$ ?

Proyectando $y_1$ y $y_2$ en el eje x y utilizando una simple manipulación algebraica y trigonométrica obtengo las siguientes 2 ecuaciones para $y_1$ y $y_2$ en función de $\beta$ .

$$y_1(\beta) = \dfrac{d}{\sin(\beta) + \dfrac{\cos(\beta)}{\tan(\theta)}} \, $$ $\qquad$ y

$$y_2(\beta) = \dfrac{d}{-\sin(\beta) + \dfrac{\cos(\beta)}{\tan(\theta)}}$$

Answer 1

Si $y_1,y_2,d$ y $\theta$ son conocidos, entonces de

$$y_1(\beta) = \dfrac{d}{\sin(\beta) + \dfrac{\cos(\beta)}{\tan(\theta)}} \, $$ $\qquad$ y

$$y_2(\beta) = \dfrac{d}{-\sin(\beta) + \dfrac{\cos(\beta)}{\tan(\theta)}}$$

obtienes $$\frac{1}{y_1}+\frac{1}{y_2}=\frac{2\cos{\beta}}{d\tan{\theta}}$$ y por lo tanto $$\frac{d\cdot \tan{\theta}}{2}\cdot \left(\frac{1}{y_1}+\frac{1}{y_2}\right)=\cos{\beta}$$ a partir de la cual se puede determinar $\beta$ .

---

Alternativamente, (véase el comentario de Blue) se toman diferencias para obtener

$$\frac{1}{y_1}-\frac{1}{y_2}=\frac{2\sin(\beta)}{d}$$ de lo que se deduce el resultado.

Answer 2

Si las 2 ecuaciones de los mensajes originales son ciertas, entonces el problema está resuelto. Créditos b00n heT y Azul .