En Soporte Schouten es una extensión del corchete de Lie a campos multivectoriales. Dado un campo multivectorial $\Lambda$ la desaparición del corchete de Schouten $[\Lambda,\Lambda]=0$ se denomina una especie de condición de "integrabilidad". ¿Integrabilidad de qué exactamente? En el caso de una distribución de una colección de campos (1-)vectoriales ordinarios, por supuesto, no es más que el teorema de Frobenius. ¿Cuál es la interpretación de esta "integrabilidad" para los campos multivectoriales? Etiquetado PDEs porque incluso si no sé nada, supongo que están involucrados en la respuesta de esta pregunta.
Respuesta
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Isak Savo
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Un ejemplo bien conocido es el caso de los fieles bivectores $\pi$ . Entonces $[\pi, \pi] = 0$ equivale a decir que $\{f, g\} = \pi(df, dg)$ es un corchete de Poisson, es decir, satisface la identidad de Jacobi. En este sentido, se trata en realidad de una condición de integrabilidad, ya que se sabe que una variedad de Poisson admite una distribución por campos vectoriales hamiltonianos, es decir, campos vectoriales de la forma $X_f = [f, \pi]$ que resulta ser integrable en una foliación por hojas (simplécticas). La integrabilidad incluso puede verse que entra por segunda vez ya que las hojas simplécticas permiten que los gráficos de Darboux sean la versión local, es decir, integrada, de la versión infinitesimal de una forma simpléctica.
