¿Puedo integrar una igualdad aproximada?

Question

Tengo una función $f(x)$ y su primera derivada, que es continua, $f'(x)$ . Sé que $\lim_{x\to\infty}f'(x)=0$ . También $f'(x)>0$ para todos $x$ .

También tengo otra función $p(x)$ que es una función de densidad de probabilidad continua de una distribución con una media bien definida. Así pues, $p$ también ha $\lim_{x\to\infty}p(x)=0$ .

También sé que $\lim_{x\to\infty}\frac{p(x)}{f'(x)}=k>0$ .

De lo anterior puedo concluir que en una vecindad de $\infty$ $f'(x)\simeq A+\frac{1}{k}p(x)$ . En $\lim_{x\to\infty}p(x)=\lim_{x\to\infty}f'(x)=0$ tiene que ser que $A=0$ Así que $f'(x)\simeq \frac{1}{k}p(x)$ .

¿Puedo integrar esta ``ecuación'' y concluir que $\lim_{x\to\infty}f(x)<\infty$ ?

Answer 1

Si asume $p(x)$ es una función no negativa tal que $\int_{-\infty}^{\infty} p(x)dx = 1$ y $f(x)$ es una función continuamente diferenciable tal que $$ \lim_{x\rightarrow\infty} \frac{p(x)}{f'(x)} = k \quad (Eq 1)$$ para algún número real positivo $k$ , entonces se puede concluir que $\lim_{x\rightarrow\infty} f(x)$ existe y es finito.

Prueba: De (Ec 1) sabemos que existe un número real $y$ tal que $f'(x)\neq 0$ para todos $x \geq y$ y: $$ \frac{p(x)}{f'(x)} \geq k/2 \quad \forall x \geq y \quad (Eq 2)$$ Desde $k/2>0$ se deduce que $p(x)\neq 0$ para todos $x \geq y$ y así $p(x)>0$ para todos $x \geq y$ y, por tanto $f'(x)>0$ para todos $x \geq y$ . Por lo tanto $f(x)$ es finalmente no decreciente y tiene un límite bien definido (posiblemente infinito). Dado que $f'(x)>0$ para todos $x \geq y$ reordenamos (Ec 2) para obtener: $$ f'(x) \leq (2/k)p(x) \quad \forall x \geq y $$ Integrando esto se obtiene, para todos $t>y$ : $$ \int_y^{t} f'(x)dx\leq (2/k)\int_y^t p(x) \leq (2/k) $$ y así: $$ f(t) - f(y) \leq 2/k \quad \forall t > y $$ Así: $$\lim_{t\rightarrow\infty} f(t) \leq f(y) + 2/k < \infty $$