Demostrar que la función $f(x)=\frac{\sin(x^3)}{x}$ es uniformemente continua.

Question

Función continua en el intervalo $(0,\infty)$ $f(x)=\frac{\sin(x^3)}{x}$ . Demostrar que la función es uniformemente continua. La función es claramente continua. Ahora $|f(x)-f(y)|=|\frac{\sin(x^3)}{x}-\frac{\sin(y^3)}{y}|\leq |\frac{1}{x}|+|\frac{1}{y}|$ . Pero no creo que esto funcione.

Yo estaba tratando de la otra manera, utilizando el teorema del valor medio de Lagrange para que podamos aplicar cualquier condición de Lipschitz o no!!! pero $f'(x)=3x^2\frac{\cos(x^3)}x-\frac{\sin(x^3)}{x^2}$

Alguna pista...

Answer 1

Pista:

Cualquier función continua y acotada $f:(0,\infty) \to \mathbb{R}$ donde $f(x) \to 0$ como $x \to 0,\infty$ es uniformemente continua. La derivada, si existe, no tiene por qué estar acotada.

Tenga en cuenta que $\sin(x^3)/x = x^2 \sin(x^3)/x^3 \to 0\cdot 1 = 0$ como $x \to 0$ .

Este es también un gran ejemplo de una función uniformemente continua con una derivada no limitada.