Condición de conectividad

Question

¿Es cierto que dos subconjuntos de un espacio métrico están desconectados si y sólo si no existe una sucesión de Cauchy con todos los puntos en un subconjunto y su límite en el otro?

Parece correcto para casos sencillos, aunque no se me ocurre una prueba rigurosa.Me cuesta el concepto de conectividad.

Edita:
¿Es cierto que un espacio métrico es conexo si y sólo si para cada subconjunto propio $A$ existe otro subconjunto $B$ conectado a $A$ tal que $A \cap B = \emptyset$ ?

Gracias.

Answer 1

Sea $(X,d)$ sea nuestro espacio métrico.

Utilizaré la definición de conectividad, según la cual un espacio está desconectado si hay abiertos $\emptyset\neq A, B\subset X$ tal que $A\cup B=X$ y $A\cap B=\emptyset$ .

Dado que nuestra secuencia $\left(x_n\right)_{n\geq0}$ converge por suposición, podemos encontrar, para cualquier abierto $U\subset X$ con $x\in U$ , an $N$ tal que $x_n\in U$ para todos $n\geq N$ (esta definición de convergencia es equivalente con la $\varepsilon$ - $N$ uno).

Supongamos que $(X,d)$ está desconectado, y todos los $x_n$ están en $B$ y $x\in A$ . Desde $A$ está abierto, seguramente podemos encontrar $N$ tal que $x_n\in A$ para todos $n\geq N$ lo que no tiene sentido.

Tenga en cuenta que no hice uso del hecho de que su secuencia era una secuencia de Cauchy.