Rango Cantor-Bendixon de un conjunto cerrado en un espacio topológico arbitrario

Question

Si $(X,\tau)$ es un espacio topológico, y $Y\subseteq X$ es un subconjunto cerrado podemos definir el Derivadas de Cantor-Bendixon de $Y$ : $Y^0 = Y$ , $Y^1 = Y^\prime, \ldots , Y^\alpha, \ldots$ .

En $X=\mathbb{R}$ Encontré un prueba que la secuencia transfinita de derivadas de Cantor-Bendixon se estabiliza, pero ¿se estabiliza para un espacio topológico arbitrario $X$ ? Si esto es cierto, ¿podría alguien facilitar un enlace con la prueba?

Answer 1

Sea $(X, \tau)$ sea un espacio topológico arbitrario. Definimos recursivamente la secuencia de sus derivadas de Cantor-Bendixson $(X_\alpha)_{\alpha \in ON}$ como sigue

• $X_0 := X$
• $X_{\alpha +1 } := X_{\alpha}'$ (el conjunto de puntos límite de $X_{\alpha}$ )
• $X_\lambda := \bigcap_{\alpha < \lambda} X_\alpha$

Esto define una secuencia decreciente $$ X_0 \supseteq X_1 \supseteq \ldots $$

Supongamos por contradicción que esta secuencia no se estabiliza. Entonces

$$ f \colon ON \rightarrow \mathcal P (X), \alpha \mapsto X_\alpha $$

es una inyección $ON \rightarrow \mathcal P(X)$ lo cual es imposible ya que $ON$ es una clase propia.