¿Cuándo la función de una mediana está más próxima a la mediana de la función que la media de la función a la función de la media?

Question

Fondo

notación: RV= variable aleatoria, $\mu=$ media $m=$ mediana

La desigualdad de Jensen considera la relación entre la media de una función de un VR y la función de la media de un VR.

Si $f(x)$ estrictamente convexa:

$$\mu (f(x)) > f(\mu (x))\mathrm{\hspace{20mm}(1)}$$

Por el contrario, si $-f(x)$ es estrictamente convexa:

$$\mu (f(x)) < f(\mu (x))$$

Se ha presentado una propiedad análoga de la mediana ( Merkle et al 2005 , pdf ).

Motivación

Tengo un función (pdf) de variables aleatorias positivas, demasiado complejo para publicarlo aquí, no directamente pertinente a esta pregunta; estoy buscando una respuesta más general. Cabe señalar que, sin embargo, no es ni estrictamente cóncava ni convexa.

En la práctica, encuentro que la función de las medianas proporciona una estimación mucho mejor de la mediana de la función que la estimación de la media de la función a partir de la función de las medias. Me interesa conocer las condiciones para las que esto es cierto.

Pregunta

¿En qué condiciones la función de una mediana estará más próxima a la mediana de una función que la media de una función a una función de la media?

Específicamente para qué tipos de $f(x)$ y $x$ es

$$|\mu (f(x)) - f(\mu (x))| > |m (f(x)) - f(m (x))|$$

Anteriormente pregunté esto en aquí en stats.stackexchange.com, pero al no recibir respuesta, me aconsejaron que lo publicara aquí en MO.

Referencias

Merkle et al 2005 Desigualdad de Jensen para medianas. Statistics & Probability Letters, Volumen 71, Número 3, 1 de marzo de 2005, Páginas 277-281

Answer 1

Si $f\ $ es una función monótona, entonces el valor mediano de $f(X)$ es lo mismo como la función aplicada al valor mediano de $X$ .

Si no hay monotonicidad (o monotonicidad aproximada) no cabe esperar que estén ni siquiera cerca: basta pensar en $X$ distribuidos uniformemente en el intervalo y $f(x)=|x-1/2|$ digamos.

Por otra parte, una condición razonable para la media de $f(X)$ yacer cerca de $f$ aplicada a la media de $X$ es para $f\ $ estar cerca de una función lineal (el mismo ejemplo anterior muestra que la media de la función está muy lejos de la función de la media). Por supuesto, la media es muy sensible a los valores extremos de $f(X)$ mientras que la mediana no

En general, para un sistema monótono o casi monótono $f$ se puede esperar una mayor aproximación de las medianas que de las medias. Para los valores seriamente no monótonos $f$ no creo que haya nada útil que puedas decir.

Por cierto, no me lo has preguntado, pero en caso de que te interese la media muestral y mediana de la muestra de $f(X_1),\ldots,f(X_n)$ en comparación con la media y la mediana verdaderas de $f(X)$ la primera suele errar en torno a un desv estándar $(f(X))/\sqrt n$ mientras que el segundo se equivoca en aproximadamente $(1/\sqrt{8n})/\rho(m(f(X)))$ donde $\rho$ es la función de densidad de $f(X)$ (que supongo que existe). Esto significa que usted puede hacer una prueba numérica para ver cuál de ellos estará más cerca.