Soluciones enteras de la ecuación factorial $(x!+1)(y!+1)=(x+y)!$

Question

El problema es: ¿hay soluciones para la siguiente ecuación?

$$(x!+1)(y!+1)=(x+y)!$$

con $x, y \in \mathbb{N}$.

Mi solución:

$\left(x!+1\right)\cdot \left(y!+1\right) = \left(x+y\right)!$

$x!y!+x!+y!+1= \left(x+y\right)!$

$\displaystyle\frac{x!y!+x!+y!+1}{x!y!}= \displaystyle\frac{\left(x+y\right)!}{x!y!}$

$1+\displaystyle\frac{1}{y!}+\displaystyle\frac{1}{x!}+\displaystyle\frac{1}{x!y!}=\displaystyle\binom{x+y}{x}$

como $1+\displaystyle\frac{1}{y!}+\displaystyle\frac{1}{x!}+\displaystyle\frac{1}{x!y!}\leq{4}$, entonces $\displaystyle\binom{x+y}{x}\leq{4}$, Si $\displaystyle\binom{x+y}{x}\leq{4}$, es necesario que $x, y\leq{4}$.

Por lo tanto, puedo revisar un posible conjunto finito de soluciones $\{(x,y)|x,y\leq{4}\}$.

¿Es correcta mi prueba?

¿Hay otra forma?

Answer 1

Las parejas $(1,2)$ y $(2,1)$ son las únicas soluciones. Para ver esto, suponga que $x>1$ e $y>1$. Entonces $x!$, $y!$ y $(x+y)!$ son pares. Pero $(x!+1)(y!+1)$ es impar, lo cual es una contradicción. Por lo tanto, $x=1$ o $y=1$, y como el problema es simétrico en $x$ e $y$, asumimos que $y=1$. Entonces $2(x!+1)=(x+1)!$, lo cual es equivalente a $x!+2=x\cdot x!$. Por lo tanto, $x!|2$, y esto muestra que $x=1$ o $x=2$. Pero $x=1$ no es posible. Entonces, $x=2$.