La intersección de un conjunto denso abierto y cualquier conjunto denso es denso.

Question

Estoy estudiando un capítulo introductorio de topología y encontrando cierta dificultad en la siguiente pregunta. Tuve la oportunidad de revisar las respuestas de Daniel y Brian en esta página. Sin embargo, todavía no estoy del todo convencido.

Si $D_1$ es un conjunto denso abierto en $\mathbb R^p$ y $D_2$ es cualquier conjunto denso en $\mathbb R^p$, entonces, ¿cómo puedo mostrar que $D_1 \cap D_2$ también son densos en $\mathbb R^p$?

Intento: Dado que $D_1$ es un conjunto denso abierto en $\mathbb R^p$, lo cual significa que si $x \in D_1^c$, entonces cada vecindario de $x$ contiene al menos un elemento de $D_1.

Pero, este hecho es contradictorio porque los elementos de $D_1$ no se supone que estén en cada vecindario de los elementos en $D_1^c$.

$(a)~$Por lo tanto, ¿podemos inferir que $D_1^c$ no debe tener ningún conjunto abierto no vacío, de lo contrario cualquier bola abierta en $D_1^c$ también contendrá elementos de $D_1$, lo cual es una contradicción?

Supongamos que $D_1 \cap D_2$ no es denso en $\mathbb R^p$. Entonces, para algún $y \in \mathbb R^p$, hay un vecindario de $y = B(y,r)$ que no contiene ningún elemento de $D_1 \cap D_2$.

Esto es ciertamente posible porque $B(y,r)$ puede contener elementos de $D_1/ (D_1 \cap D_2)$ y $D_2/ (D_1 \cap D_2)$.

¿Cómo puedo seguir adelante?

Gracias por tu ayuda

Answer 1

Para mostrar que $D_{1} \cap D_{2}$ es denso en $\mathbb{R}^{p}$, puedes demostrar que intersecta cada subconjunto abierto de $\mathbb{R}^{p}$. Esa es una caracterización de la densidad.

Entonces, sea $O \subseteq \mathbb{R}^{p}$ un conjunto abierto arbitrario. Dado que $D_{1}$ es denso, $D_{1} \cap O \neq \emptyset$. Además, $D_{1} \cap O$ es abierto, ya que ambos conjuntos son abiertos. Así que sabemos que por la intersección no vacía $\exists x \in D_{1} \cap O$. Dado que la intersección es abierta, $\exists \epsilon_{x} > 0$ tal que $B(x,\epsilon_{x}) \subseteq D_{1} \cap O.

Pero $B(x, \epsilon_{x})$ es un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^{p}$, y por lo tanto, debido a que $D_{2}$ es denso, $D_{2} \cap B(x, \epsilon_{x}) \neq \emptyset$. Pero ya que esta bola está contenida en $O \cap D_{1}$, esto implica que $D_{2}$ interseca $O \cap D_{1}$. Escrito de esta forma, esto dice que $D_{2} \cap (D_{1} \cap O) \neq \emptyset.

Dado que la intersección de conjuntos es asociativa, esto significa que $(D_{1} \cap D_{2}) \cap O \neq \emptyset$ para cualquier conjunto abierto arbitrario $O \subseteq \mathbb{R}^{p}$, lo que implica que $D_{1}\cap D_{2}$ es denso según nuestra caracterización de la densidad.