Supongo que aquí puedo explicar su solución con más detalle*. Así que en primer lugar (que de hecho hacen por último en su solución), queremos deshacernos de la $2y+2x$ en el lado derecho de la segunda ecuación. Podemos hacerlo mediante la hábil sustitución $(W,X,Y,Z)=(w-1,x+1,y+1,z-1)$ que nos da $$(W+1)(X+Y+Z-1) + (Y-1)(Z+X) + (X-1)(Z+1) = 2X-2+2Y-2+193$$ $$W(X+Y+Z)+XY+YZ+ZX-W-Z+X+Y-2=2X+2Y+193-4$$ Y entonces podemos añadir la primera ecuación $W+X+Y+Z=25$ y entonces obtenemos $$W(X+Y+Z)+XY+YZ+ZX=193+25-2=216$$ Ahora nos queda encontrar el máximo de $W$ con la ecuación anterior y la restricción $$X+Y+Z+W=25$$ Esto se consigue mediante la desigualdad $(X+Y+Z)^2\geq 3(XY+YZ+ZX)$ que es el resultado directo del hecho de que $$(X-Y)^2+(Y-Z)^2+(Z-X)^2 \geq 0$$ Todo ello está motivado porque el término $X+Y+Z$ es bastante agradable ya que podemos sustituirlo por $25-W$ . Así que ahora tenemos $$216 \leq W(25-W) + \frac{(25-W)^2}{3}$$ $$-75W+3W^2+216*3-25^2+50W-W^2 \leq0$$ $$2W^2-25W+23\leq0$$ Desde el $W^2$ tiene un coeficiente positivo, el $W$ que satisfacen esta desigualdad se encuentran en la región comprendida entre las dos soluciones, por lo que la solución máxima es también la máxima $W$ y así tenemos $$W\leq \frac{25+\sqrt{25^2-4*2*23}}{2*2}=\frac{25+\sqrt{441}}{4}=\frac{23}{2}$$ Y luego acordarse de volver a cambiar a $w=W+1$ tenemos $$w\leq \frac{25}{2}$$ por lo que nuestra solución es $25+2=27$ .
*(también, usted cambió su z a una x así que fui junto con eso aquí)
