Hallar el valor de $k$ en $\frac{b+c}{\sqrt{a}}+\frac{c+a}{\sqrt{b}}+\frac{a+b}{\sqrt{c}} \ge \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+k$

Question

También se da que $abc = 1$ .

Utilicé la desigualdad AM-GM para llegar hasta $\frac{b+c}{\sqrt{a}}+\frac{c+a}{\sqrt{b}}+\frac{a+b}{\sqrt{c}} \ge \sqrt{\frac{bc}{a}} + \sqrt{\frac{ac}{b}} + \sqrt{\frac{ab}{c}} $

Cómo llegar más lejos

Answer 1

Por AM-GM $$\frac{b+c}{\sqrt{a}}+\frac{c+a}{\sqrt{b}}+\frac{a+b}{\sqrt{c}} \ge 2(\sqrt{\frac{bc}{a}} + \sqrt{\frac{ac}{b}} + \sqrt{\frac{ab}{c}} )=2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$$ Ahora con $x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx$ $$\begin{align*}2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \ge 2(\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{\sqrt{ac}})=2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})& \\ \ge\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+3\sqrt[3]{\sqrt{abc}}\end{align*}$$ como $abc=1$ vemos que $k=3$

Igualdad cuando $a=b=c=1$

Answer 2

Una forma alternativa: Por la desigualdad de reordenación tenemos $$\frac{b}{\sqrt{a}}+\frac{c}{\sqrt{a}}+\frac{c}{\sqrt{b}}+\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{a}{\sqrt{c}}+\frac{b}{\sqrt{c}}\geq \frac{a}{\sqrt{a}}+\frac{a}{\sqrt{a}}+\frac{b}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{b}}+\frac{c}{\sqrt{c}}+\frac{c}{\sqrt{c}}=2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})$$ Ahora proceda por AM-GM como en la respuesta de Albus Dumbledore.

Answer 3

Demostraremos la desigualdad homogénea (donde utilizamos $abc=1$ ) $$\frac{b+c}{\sqrt{a}}+\frac{c+a}{\sqrt{b}}+\frac{a+b}{\sqrt{c}} \ge \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+3\sqrt[6]{abc}$$ Dado que la igualdad es alcanzable para $a=b=c$ Esto demostraría que la $k$ es $3$ . Obsérvese que, en virtud de AM-GM $$\frac{\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{a}}+\frac{b}{\sqrt{c}}+\frac{c}{\sqrt{b}}+\frac{c}{\sqrt{a}}+\frac{a}{\sqrt{c}}}6\geqslant \sqrt[6]{abc}\iff\frac{\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{a}}+\frac{b}{\sqrt{c}}+\frac{c}{\sqrt{b}}+\frac{c}{\sqrt{a}}+\frac{a}{\sqrt{c}}}2\geqslant 3\cdot \sqrt[6]{abc} $$ Además, AM-GM produce $$\frac{2\cdot\frac{a}{\sqrt{b}}+2\cdot \frac{a}{\sqrt{c}}+\frac{b}{\sqrt{a}}+\frac{c}{\sqrt{a}}}{6}\geqslant \sqrt[6]{a^3}=\sqrt{a}$$ Sumando la primera desigualdad y las variaciones cíclicas de la última, llegamos a la desigualdad deseada.