¿Qué grupos tienen sólo representaciones irreducibles reales y cuaterniónicas?

Question

Consideremos una representación continua irreducible de un grupo de Lie compacto en un espacio de Hilbert complejo de dimensión finita. Hay tres opciones mutuamente excluyentes:

1) no es isomorfo a su dual (en cuyo caso lo llamamos "complejo")

2) tiene una forma bilineal simétrica no degenerada (en cuyo caso la llamamos "real")

3) tiene una forma bilineal antisimétrica no degenerada (en cuyo caso la llamamos "cuaterniónica")

Es "real" en este sentido si es la complejificación de una representación en un espacio vectorial real, y es "cuaterniónico" en este sentido si es la representación compleja subyacente de una representación en un espacio vectorial cuaterniónico.

De antemano, sólo sé cuatro grupos de Lie compactos cuyas representaciones irreducibles continuas en espacios vectoriales complejos son todas reales o cuaterniónicas en el sentido anterior :

1) el grupo Z/2

2) el grupo trivial

3) el grupo SU(2)

4) el grupo SO(3)

Nótese que estoy tan desesperado por encontrar ejemplos que estoy incluyendo grupos de Lie compactos de 0 dimensiones, es decir, ¡grupos finitos!

1) es el grupo de los números reales de norma unitaria, 2) es un grupo cubierto por éste, 3) es el grupo de los cuaterniones de norma unitaria, y 4) es un grupo cubierto por que . Esto explica probablemente por qué estos son todos los ejemplos que conozco. Para 1), 2) y 4), todas las representaciones continuas irreducibles son de hecho reales.

¿Cuáles son todos los ejemplos?

Answer 1

Una representación irreducible es real o cuaterniónica precisamente cuando su es de valor real. Por el teorema de Peter-Weyl todos los caracteres son de valor real precisamente cuando cada elemento del grupo es conjugado con su inverso. Cuando el grupo es conexo, una respuesta más precisa es la siguiente: El Weyl (en su representación tautológica) debe contener la multiplicación por $-1$ y esto es cierto precisamente cuando todos los factores del sistema radicular indecomponibles tienen esa propiedad. No recuerdo a mano qué sistemas de raíces indecomponibles tienen esta propiedad pero por supuesto es bien conocida (el tipo A está fuera, el tipo B/C está dentro, el tipo D depende de la paridad del rango).

Anexo : Encontré los lugares relevantes en Bourbaki. Todos los caracteres son de valor real precisamente cuando el elemento que él llama $w_0$ es $-1$ (Cap. VIII,Prop. 7.5.11) y también se puede leer si una representación dada es real o cuaterniónica (loc. cit. Prop 12). De las tablas del capítulo 6 se deduce que $w_0=-1$ precisamente para $A_1$ B/C, D para el rango par, $E_7$ , $E_8$ , $F_4$ et $G_2$ .

Answer 2

Torsten respondió perfectamente a esta pregunta para la definición de real/complejo/cuaterniónico en la pregunta original de John. Pero este uso de real/complejo/cuaterniónico es ajeno a mi experiencia. En concreto, si nos fijamos en una representación real irreducible de un grupo, entonces su anillo de endomorfismo es (por Schur y Frobenius) R, C o H. Y esto parece dar un significado natural de los términos "real", "complejo" y "cuaterniónico" para irreps. Esta definición no concuerda con la de John, como puede verse considerando las repeticiones de espín de Spin(7,1).

Mi definición es también la que se encuentra en la respuesta de Noah Snyder aquí y en la definición de Wikipedia de representación cuaterniónica.

Answer 3

Esto era un comentario sobre la respuesta de Torsten, pero se hizo demasiado largo.

Supongamos que $G$ es conexa y semisimple. Fijación de una elección $\Phi^+$ de raíces positivas para $G$ podemos describir $w_0$ como único elemento del grupo de Weyl de $G$ que lleva $\Phi^+$ a las raíces negativas $\Phi^- = -\Phi^+$ . Ahora, $-w_0$ es una involución del diagrama de Dynkin de $G$ . Esta involución es trivial cuando las componentes del diagrama de Dynkin carecen de simetría doble, y esto ocurre precisamente para las componentes de tipo $A_1$ , $B_n$ , $C_n$ , $D_{2n}$ , $E_7$ , $E_8$ , $F_4$ et $G_2$ en cuyo caso $-w_0=1$ . Para el tipo $A_n$ ( $n>1$ ), la involución viene dada por $\alpha_i \leftrightarrow \alpha_{n-i+1}$ para $D_n$ viene dado por $\alpha_i \leftrightarrow \alpha_{i-1}$ y para $E_6$ viene dado por $\alpha_1 \leftrightarrow \alpha_6$ et $\alpha_2 \leftrightarrow \alpha_5$ .

Ahora bien $V$ es un irrep de mayor peso $\lambda$ entonces $V^\ast$ tiene mayor peso $-w_0\lambda$ . Así que $V \cong V^\ast$ siempre que $-w_0=1$ y la discusión anterior nos dice cuándo ocurre esto.

Nota al margen: Existe una Pregunta MO que se preguntó no hace mucho, cuyas respuestas podrían ser útiles.