Problema de suma.

Question

Problema: resolver para $x$ tal que: $$\sum_{n=0}^{\infty } x^n=\dfrac{4}{11}$$

Mi primera idea fue evaluar la serie: $$\sum_{n=0}^{\infty } x^n=\dfrac{1}{1-x}, \text{ for }|x|<1$$ A continuación, resuelve la ecuación: $$\dfrac{1}{1-x}=\dfrac{4}{11}$$ Lo que dio $x=\dfrac{-7}{4}$ incorrecto ya que $|x|<1$ . Por lo tanto, no hay solución para $x$ .

Me pregunto si he dado con la respuesta correcta, soy bastante nuevo en esto.

Answer 1

Su respuesta es correcta. De hecho, se pueden establecer límites en la fórmula de la suma geométrica para $|x| <1$ .

Tenemos $$ x \in (-1, 1) \Rightarrow -x \in (-1, 1) $$ $$\Rightarrow 1-x \in (0, 2) $$ $$ \Rightarrow \frac{1}{1-x} \in \left( \frac{1}{2}, \infty \right)$$

Claramente $\tfrac{4}{11}$ no pertenece a este intervalo.