Halla el número entero máximo para el que converge la integral

Question

Tengo la siguiente integral

y necesito encontrar el máximo entero $\alpha$ para la que converge la integral.

Creo que necesito reducir esta integral a la integral de Dirichlet

con alguna sustitución especial. He probado diferentes variantes de ellos, pero esto me lleva a los cálculos engorrosos.

¿Puede alguien ayudarme a reducir la integral a la forma Dirichlet?

¿O debería resolver este problema de una forma completamente diferente?

Answer 1

Considerando la integral de $0$ a $1$ sustituyendo $x=u^{-2}$ me dio $2\int\limits_{1}^\infty \sin\left(u+u^{-5}\right) u^{2\alpha-3} du$ . Para que converja necesitamos $2\alpha-3<0$ Así que creo que tu respuesta es $\leq 1$ y como dijo user66345 $\geq 0$ .