Sea $ f_n \in R([a,b]) $ y que $ f:[a,b] \to \mathbb{R} $ Supongamos $f_n(x)^\rightarrow_\rightarrow f(x) $ . Entonces $ f \in R([a,b]) $

Question

Teorema : Sea $ f_n \in R([a,b]) $ para todos $ n \in \mathbb{N} $ ( $ \{ f_n \} : N \to ( [a,b] \to \mathbb{R} ) $ es una secuencia de funciones ), y sea $ f:[a,b] \to \mathbb{R} $ y supongamos $f_n(x)^\rightarrow_\rightarrow f(x) $ . Entonces $ f \in R([a,b]) $ et $ \int_a^b{f(x)dx} = \lim_{n \to \infty } \int_a^b f_n(x)dx $ .

Prueba : La prueba se divide en dos partes,
Prueba de integrabilidad:
para demostrar la integrabilidad, demostraremos $ \forall \epsilon > 0 $ $ \exists \delta > 0$ s.t. para cada partición $ \prod $ de $ [a,b] $ s.t. $ \lambda(\prod) < \delta $ entonces $ \omega(f,\prod) < \epsilon $ ( Esta es la definición de integrabilidad de Darboux ).
Sea $ \epsilon >0 $ sea arbitraria, por convergencia uniforme existe $ N \in \mathbb{N} $ s.t. $\forall x \in [a,b] $ et $ \forall n \geq N $ tenemos $ |f_n(x) - f(x) | < \frac{\epsilon}{4(b-a)} $ .
Sea $ n \geq N $ ser arbitraria, $ f_n $ es integrable de Riemann, por lo que existe $ \delta > 0 $ s.t. para cada partición $ \prod $ s.t. $ \lambda(\pi) < \delta $ entonces $ \omega(f_n,\prod) < \epsilon/2 $ ( Utilización de la definición de Darboux para la integrabilidad ) . Sea $ \prod $ sea una partición arbitraria de $ [a,b] $ y supongamos $ \lambda(\prod) < \delta $ Así pues $ \omega(f_n,\prod) < \epsilon / 2 $
En concreto, para cada intervalo $ J \subseteq [a,b] $ tendremos $ | \omega(f,J) - \omega(f_n,J) | \leq \frac{\epsilon}{2(b-a)} $ .
Observe que $ \omega(f,\prod) = \sum \omega(f,[x_{i-1},x_i]) \Delta x_{i} \leq \sum \omega(f_n,[x_{i-1},x_i]) \Delta x_{i} + \epsilon/2 < \epsilon $ y hemos terminado.

Prueba de $ \int_a^b{f(x)dx} = \lim_{n \to \infty } \int_a^b f_n(x)dx $ :
[ aquí hay pruebas pero las he omitido porque mi pregunta no va de eso ]

Mi pregunta:
No entendí la línea donde dice " Específicamente, para cada intervalo $ J \subseteq [a,b] $ tendremos $ | \omega(f,J) - \omega(f_n,J) | \leq \frac{\epsilon}{2(b-a)} $ . " , ¿Cómo llegaron a la última desigualdad?

Notas sobre la notación:

• $ f \in R([a,b]) $ significa $ f$ es integrable de Riemann en $[a,b] $ .
• $ \lambda(\prod) = max_{i=1,...,n}|{ \triangle x_i}| $ ( esta es la malla de partición $ \prod $ )
• $\omega(f, J)=\sup _{J} f-\inf _{J} f=\sup _{x, y \in J}(f(x)-f(y))$ donde J es un intervalo.
• $\omega(f, \Pi)=\sum_{i=1}^{n} \omega\left(f,\left[x_{i-1}, x_{i}\right]\right) \Delta x_{i}$ donde $ \Pi $ es una partición de algún intervalo cerrado.
• $f_n(x)^\rightarrow_\rightarrow f(x) $ la secuencia de funciones $ \{ f_n \} $ converge uniformemente a $ f $

Gracias de antemano por la ayuda.

Answer 1

Para el $n \geqslant N$ tenemos para todos $x \in [a,b]$ ,

$$\tag{1}|f(x) - f_n(x)| < \frac{\epsilon}{4(b-a)},$$

y, por tanto, para cualquier $x,y \in J \subseteq [a,b]$ ,

$$\tag{2}f(x) < f_n(x)+ \frac{\epsilon}{4(b-a)},$$ $$\tag{3}f(y) > f_n(y)- \frac{\epsilon}{4(b-a)}$$

Restando (2) - (3), obtenemos

$$f(x) - f(y) < f_n(x) - f_n(y) + \frac{\epsilon}{2(b-a)}$$

Aplicando la desigualdad del triángulo, se deduce que

$$|f(x) - f(y)| < |f_n(x) - f_n(y)| + \frac{\epsilon}{2(b-a)} \leqslant \sup_{x,y \in J}|f_n(x) - f_n(y)| + \frac{\epsilon}{2(b-a)}$$

Tomando el supremum en el LHS, obtenemos

$$\sup_{x,y \in J}|f(x) - f(y)| \leqslant \sup_{x,y \in J}|f_n(x) - f_n(y)| + \frac{\epsilon}{2(b-a)}$$

Utilizando la definición de $\omega(\cdot,J)$ y reordenando obtenemos,

$$\tag{4}\omega(f,J) - \omega(f_n,J) \leqslant \frac{\epsilon}{2(b-a)}$$

También se deduce de (1) que $$\tag{5}f_n(x) < f(x)+ \frac{\epsilon}{4(b-a)},$$ $$\tag{6}f_n(y) > f(y)- \frac{\epsilon}{4(b-a)},$$

Repitiendo el argumento anterior se obtiene

$$\tag{7}\omega(f_n,J) - \omega(f,J) \leqslant \frac{\epsilon}{2(b-a)}$$

En conjunto, (4) y (7) implican que

$$|\omega(f,J) - \omega(f_n,J)| \leqslant \frac{\epsilon}{2(b-a)}$$