¿Es el complemento de un número contable de discos cerrados disjuntos un camino conectado?

Question

Dejemos que $\{D_n\}_{n=1}^\infty$ sea una familia de discos cerrados disjuntos en $\mathbb{R}^2$ . ¿Es el complemento $$\mathbb{R}^2 -\bigcup_{n=1}^\infty D_n$$ ¿siempre camino conectado?

Aquí "disco" significa un disco redondo y geométrico. (Como se muestra a continuación, la respuesta es no si permitimos discos topológicos arbitrarios).

Tenga en cuenta que la unión $\bigcup_{n=1}^\infty D_n$ puede ser denso en el plano. Por ejemplo, es posible encontrar una colección de discos cerrados disjuntos de radio positivo cuya unión contenga $\mathbb{Q}\times\mathbb{Q}$ .

Es fácil demostrar que el complemento de un conjunto contable de puntos en el plano es siempre un camino conectado. En particular, si $S \subset\mathbb{R}^2$ es contable, entonces siempre hay camino entre dos puntos cualesquiera de $\mathbb{R}^2-S$ formado por dos segmentos de línea.

Es no es cierto que el complemento de un conjunto contable de segmentos de línea disjuntos es un camino conectado, como se muestra en la siguiente figura.

Engrosando ligeramente los segmentos de línea, se puede encontrar una colección contable de discos topológicos disjuntos cuyo complemento no es un camino conectado.

Answer 1

Al contrario de lo que pedía el OP, esto sigue siendo un boceto. Lo pongo aquí porque apunta a alguna literatura relevante, esperando que alguien más experto que yo ayude a aclararlo. La pregunta me ha recordado a este documento de Fischer y Zastrow: la parte relevante es el final de la p. 12. Véase también esta respuesta por George Lowther.

Puede suponer que $\cup D_n$ es denso. Ahora elige algún difeomorfismo agradable $\phi:\mathbb{R}^2\to B_1(0)$ . Una vez que se aplica, las imágenes de los discos ya no son discos, sino $X:=\overline{B_1(0)}\setminus\bigcup_n \phi(\text{int }D_n)$ sigue siendo un continuo de Peano unidimensional sin puntos de corte locales (no estoy seguro del significado de unidimensional..), por lo que es homeomorfo a la Alfombra Sierpinski por un teorema de Whyburn (Whyburn, Caracterización topológica de la curva de Sierpinski , Fund. Matemáticas. 45 (1958) 320-324).

Nuestro espacio es homeomorfo a $X\setminus \left(\partial B_1(0)\cup\bigcup_n\phi(\partial D_n)\right)$ pero estos conjuntos que estamos eliminando se caracterizan por ser los únicos curvas cerradas simples no separables . Así que bajo el homeomorfismo con la alfombra de Sierpinski mapean exactamente a los límites de los agujeros (más su límite exterior) y nos queda demostrar que:

El tapiz de Sierpinski sigue siendo un camino conectado incluso después de eliminar los límites de sus agujeros y su límite exterior.

Pero esto es fácil. Llama a $S'$ esta nueva y horrible alfombra no compacta. Poner $C_1:=[\frac{1}{3},\frac{2}{3}]$ , $C_2:=[\frac{1}{9},\frac{2}{9}]\cup [\frac{4}{9},\frac{5}{9}]\cup [\frac{7}{9},\frac{8}{9}]$ y así sucesivamente. Tenemos $S'=(0,1)^2\setminus\bigcup_{i=1}^\infty C_i\times C_i$ .
Ponga también $G:=(0,1)\setminus\bigcup_{i=1}^\infty C_i$ y observar que $T:=(0,1)\times G\cup G\times (0,1)$ es un camino conectado y $T\subset S'$ .
Ahora arregla cualquier $p_0\in T$ . Dado cualquier $x\in S'$ queremos conectarlo a $p_0$ con una ruta en $S'$ . Sea $x\in Q_1$ donde $Q_1$ es uno de los $9$ cubos cerrados con lado $\frac{1}{3}$ (aquellos en los que $[0,1]^2$ se divide al construir la alfombra de Sierpinski). Elija algunos $p_1\in T\cap \text{int }Q_1$ y conectar $p$ a $p_1$ con una trayectoria de longitud $<3$ (es decir, un camino formado por un máximo de tres segmentos de línea).
Sustituir $[0,1]^2$ con $Q_1$ e iterar este paso utilizando la autosimilaridad. Iterando infinitas veces obtenemos una secuencia $p_n\to x$ y caminos en $S'$ conectando $p_n$ a $p_{n+1}$ con longitud $<\frac{3}{3^n}$ para que concatenándolos obtengamos una ruta de $p_0$ a $x$ . $\blacksquare$

Answer 2

Creo que está conectado con el camino.

Dejemos que $S = \{ D_n \, | \, n \in \mathbb{N} \}$ sea el conjunto de discos cerrados y disjuntos que se está considerando. Para cualquier número entero $m \ge 1$ , dejemos que $N_m = \{ n \in \mathbb{N} \, | \, \mathrm{radius}(D_n) \in [1/m, 1/m-1) \}$ (con la convención $1/0 = \infty$ ) y $S_m = \{ D_n \, | \, n \in N_m \}$ .

Dejemos que $P, Q \in \mathbb{R}^2 \backslash S$ y considerar algún camino $\gamma_0$ entre los dos, digamos el segmento de línea recta. Por consideraciones de área, hay un número finito de discos en $S_1$ intersección de $\gamma_0$ Deja que $J_1$ denotan la reunión de estos discos y $K_1$ denotan la reunión de $J_1$ y $\gamma_0$ . Por consideraciones de área y compacidad, hay un $\epsilon_1 > 0$ de tal manera que el cerrado $\epsilon_1$ -Vecindario $K'_1$ de $K_1$ no cruza ningún otro disco de $S_1$ . Por razones similares, existe una $\delta_1 \in (0, \epsilon_1/4)$ de tal forma que el abierto $\delta_1$ -Vecindario $J'_1$ de $J_1$ sólo cruza discos de $S$ que están contenidas en el abierto $\frac{\epsilon_1}{2}$ -vecino de $J_1$ (y que tienen como tal un radio bastante pequeño). Consideremos el conjunto compacto y conectado por trayectorias $R_1 := K'_1 \backslash J'_1$ . Se puede perturbar $\gamma_0$ a una trayectoria continua $\gamma_1$ en $R_1$ . Obsérvese que esto implica que $\gamma_1$ está a una distancia $\delta_1 > 0$ de cualquier disco en $S_1$ .

Es importante señalar por qué $J_1'$ fue elegido de esta manera : $\delta_1$ es lo suficientemente pequeño en comparación con $\epsilon_1$ para asegurar que $R_1 \backslash S_2$ también está conectada a la trayectoria. Además, los puntos que han sido empujados hacia fuera en el primer paso no tienen que ser empujados mucho para evitar los discos de $S_2$ ya que es suficiente (cerca de esos puntos) perturbar la trayectoria dentro de la intersección de $R_1$ y el $\frac{\epsilon_1}{2}$ -vigilancia de $J_1$ . Los puntos que no han sido empujados en el primer paso pueden ser empujados mucho en el segundo paso, pero el mismo razonamiento muestra que no tendrán que ser perturbados mucho a partir de entonces.

Esto sugiere que, mediante un cuidadoso proceso de inducción, podemos construir una secuencia anidada de conjuntos compactos conectados por trayectorias $R_1 \supset R_2 \supset R_3 \supset \dots$ y una secuencia de caminos $\gamma_m \subset R_m$ unirse a $P$ y $Q$ tal que $d(\gamma_j, S_m) > \delta_m > 0$ siempre que $j \ge m$ . Si el proceso de perturbación se hace bien (es decir, si es algo mínimo), la secuencia $\gamma_m$ es equicontinuo. Por el teorema de Arzelà-Ascoli, deducimos que el conjunto $\{ \gamma_m \, | \, m \in \mathbb{N}\} \subset C(I, \mathbb{R}^2)$ es relativamente compacto. Por lo tanto, existe un camino continuo $\gamma : I \to \mathbb{R}^2$ (sigue uniendo $P$ y $Q$ ) que es arbitrariamente bien aproximado por el conjunto de $\gamma_m$ . De hecho, desde el $R_m$ s forman una secuencia decreciente de conjuntos compactos anidados, deducimos que $\gamma \subset \cap_{m \in \mathbb{N}} R_m$ . Por construcción, vemos que $d(\gamma, S_m) > \delta_m > 0$ y en consecuencia, $\gamma$ no cruza ninguno de los discos $D_n$ .

Answer 3

Así que aquí está mi intento de limpiar y aclarar la otra respuesta. Elegimos $A,B \in \Bbb R^2 \setminus S$

Para algunos discos $D_n = B(c_n,r_n)$ vamos a encontrar un "engrosamiento" de $D_n$ , $T_n$ , de tal manera que su frontera $B_n$ es disjunta de todos los discos, y encontrar una proyección continua de

en $f_n : T_n \setminus \{ c_n\} \to B_n$ . También queremos que el $T_n$ ser disjuntos entre sí, no contener $A$ y $B$ y queremos que cada disco esté incluido exactamente en uno de ellos.

Por consideraciones de área, para cualquier conjunto compacto $K$ y el radio $r$ hay una distancia $d(K,r)$ tal que para cualquier disco $D$ de radio mayor que $r$ la distancia desde $K$ a $D$ es $0$ o estrictamente mayor que $d(K,r)$ .
También denoto $B(K,d)$ el conjunto de puntos que están a una distancia menor o igual a $d$ de $K$

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Comenzamos enumerando los discos, y buscamos repetidamente el índice más pequeño $n$ de un disco no contenido en un engrosamiento ya construido de un disco anterior. Tenemos que construir un engrosamiento $T_n$ de $D_n$ .

Comenzamos con $K_0 = D_n$ y $\phi_0 : K_0 \setminus \{c_n\} \to K_0$ para ser la proyección radial sobre su frontera.

Porque hasta ahora se han construido finitos espesores, $K_0$ está a una distancia positiva de su reunión, por lo que hay una distancia $d_0$ tal que $B(K_0,d_0)$ no cruza ningún engrosamiento, ningún disco de radio $>1$ , ni $A$ o $B$ . Querremos tener $T_n$ para mantenerse a distancia $d_0$ de $K_0$ .
Dejemos que $e_0 \le \min(d_0/6,d(K_0,d_0/6))$ tal que $L_0 = B(K_0,e_0)$ no es tangente a ningún disco (esto es posible porque hay un número contable de discos y un número incontable de reales). Hay una proyección continua obvia desde $L_0 \setminus K_0^\circ$ a su límite por lo que observamos que desplaza cada punto como máximo $e_0$ y componerlo con $\phi_0$ para conseguir $\psi_0$ .

Ahora el límite de $L_0$ puede intersecar infinitos discos (de radio inferior a $d_0/6$ ), pero sólo un número finito de discos de radio mayor que $e_0$ .

Dejemos que $K_1$ sea la reunión de $L_0$ y los discos de radio mayor que $e_0$ se cruza. Ya que había un número finito de discos, $K_1$ es compacto y se mantiene dentro de $3d_0/6$ de $K_0$ . Para cada disco añadido proyectamos la región que sobresale a su límite, por ejemplo eligiendo un punto de su circunferencia dentro de $L_0$ y proyectándose radialmente desde ese punto. Al hacerlo, cada punto se desplaza como máximo $2d_0/6$ y lo componemos con $\psi_0$ para conseguir $\phi_1$ .
El límite de $K_1$ está formado por un número finito de arcos de círculo, sin que haya dos arcos de radio consecutivos mayores que $e_0 \le d_0/6$ .

Ahora elegimos $d_1 \le \min (d_0/6, d(K_1, e_0))$ de manera que el $d_1$ -engrosamiento de un arco de $K_1$ no se encuentra con el engrosamiento de ningún otro arco, a excepción de los arcos consecutivos. Entonces $B(K_1,d_1) \subset B(K_0,d_0)$

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Ahora el objetivo es construir un conjunto compacto simplemente conectado $K_2$ y una distancia $d_2$ tal que $K_1 \subset K_2^\circ \subset K_2 \subset B(K_2,d_2) \subset B(K_1,d_1)$ ; $K_2$ está formado por un número finito de arcos de círculo, donde entre dos arcos de círculo consecutivos, uno de ellos tiene radio $\le d_1/6$ . Junto con una proyección de $K_2 \setminus K_1$ hasta el límite de $K_2$ que desplaza los puntos a lo sumo unos $O(e_0)$ .

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Entonces elegimos $e_1 \le \min(d_1/6,d(K_1,d_1/6))$ tal que $L_1 = B(K_1,e_1)$ no es tangente a ningún disco. Desplazando el límite de $K_1$ hasta el límite de $L_1$ también se puede hacer radialmente desde cada centro de los discos de cada arco, excepto en los casos de esquina donde dos bandas se superponen o van hacia atrás. Podemos enviar todos esos puntos en línea recta a la nueva esquina y seguimos teniendo una proyección continua que desplaza cada punto como máximo $e_1$ .

Aquí puede haber (posiblemente infinitos, posiblemente cero) discos de radio inferior a $d_1/6$ que tocan el $e_1$ -engrosamiento de los arcos consecutivos. Así que en cada esquina empujamos el área de la esquina hasta el borde exterior de un hipotético disco de radio $d_1/6$ tangente a ambos arcos. Dicho disco se mantiene dentro de $d_1$ de $K_1$ (porque $e_1+2d_1/6 < d_1$ ) y por lo tanto no puede tocar arcos no consecutivos. Movemos los puntos, por ejemplo, proyectando en una dirección paralela a la línea tangente en la esquina. El desplazamiento máximo está delimitado por las circunferencias de los dos discos más pequeños de tres, por lo que es un $O(d_1/6+(e_0+e_1)) = O(e_0)$ . Sea $M_1$ sea el conjunto resultante después de expulsar todas las esquinas.

Ahora el límite de $M_1$ puede intersecar infinitos discos (de radio inferior a $d_1/6$ ), pero sólo un número finito de discos de radio mayor que $e_1$ . Entre dos arcos consecutivos de $M_1$ uno de ellos tiene un radio menor que $d_1/6$ . Sea $K_2$ sea la unión de $M_1$ y los discos de radio mayor que $e_1$ que interseca, de nuevo junto con las posibles esquinas rellenadas. Rellenar la esquina desplaza los puntos en un $O(e_1+d_1/6)$ y luego empujando hasta el borde exterior de los nuevos discos por $2e_1$ .

$K_2$ está conectado de forma sencilla, es compacto y se mantiene dentro de $5d_1/6$ de $K_1$ por lo que todavía está dentro de $d_1$ de $K_1$ . Su borde está formado por un número finito de arcos, sin que haya dos radios de arco consecutivos mayores que $d_1/6$

Y así sucesivamente.

En cada paso, obtenemos $K_i \subset K_{i+1}^\circ \subset K_{i+1} \subset B(K_{i+1},d_{i+1}) \subset B(K_i,d_i)$ y todo disco de radio superior a $e_i$ está completamente fuera $B(K_{i+1},d_{i+1})$ o completamente dentro $K_{i+1}$ . Tomamos $T_n = \cup K_i$

Desde $\phi_i$ a $\phi_{i+1}$ sólo desplazamos los puntos como máximo unos $O(d_i)$ . Como esta secuencia converge a $0$ geométricamente, la secuencia $(\phi_i)$ converge uniformemente a una proyección continua $f_n$ Dado que la imagen de $f_n$ se queda apretado entre $K_{i+1}$ y $B(K_{i+1},d_{i+1})$ , $f_n$ empuja hacia fuera cada punto de $T_n$ (que no es necesariamente cerrado) en su frontera, que no intersecta ningún disco.

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Después de cubrir cada disco de $S$ por un engrosamiento $T$ componemos todas las proyecciones juntas para obtener un mapa continuo $\Bbb R^2 \setminus C \to \Bbb R^2 \setminus S$ donde $C$ es un conjunto contable formado por el centro de los discos que hemos seleccionado anteriormente.

A continuación, aplicamos este mapa en cualquier camino desde $A$ a $B$ que no pasa por ningún punto de $C$ y obtenemos un camino desde $A$ a $B$ que se queda fuera $S$ .

Answer 4

EDIT: Esta respuesta tiene un fallo en sí misma.

Parece que el conjunto $\mathbb{R}^2 -\bigcup_{n=1}^\infty D_n$ no siempre estará conectada a la trayectoria, bajo la suposición de que mi línea de razonamiento es correcta y que no hay ningún fallo en la prueba de abajo.

Así que construyamos el conjunto contable de discos disjuntos por pares de la siguiente manera:

Dejemos que $A_{11}$ sea el disco de radio $1/2$ centrado en el punto $(-1,0)$ y $A_{12}$ el disco también con radio $1/2$ centrado en el punto $(1,0)$ . El primer paso es construir un disco $A_{13}$ con radio $1/4$ centrado en el punto $(0,0)$ . Ahora, construye $A_{14}$ con radio $1/16$ para que el centro de $A_{14}$ es el punto medio entre los centros de $A_{11}$ y $A_{13}$ y construir $A_{15}$ con un radio también $1/16$ para que el centro de $A_{15}$ es el punto medio entre los centros de $A_{12}$ y $A_{13}$ . El siguiente paso es construir $4$ discos tales que cada disco tiene un radio $1/64$ y los centros de esos $4$ discos están en los puntos medios de los segmentos de línea que unen los centros de cinco discos ya construidos (de manera que los centros de esos $4$ Los discos están entre discos vecinos y cuando digo discos vecinos quiero decir que los dos discos son vecinos si no hay otros discos entre ellos). Si continuamos de esta manera en el $n$ -ésima etapa construimos $2^{n-1}$ discos, todos con el mismo radio $1/(2^{2n})$ . Ahora pasamos al límite y denotamos esta construcción como $\bigcup_{n=1}^\infty A_{1n}$ . Dejemos ahora $A_{21}$ sea el círculo de radio $1/2$ centrado en el punto $(3,0)$ y que $A_{22}=A_{12}$ . Ahora hacemos exactamente la misma construcción de la secuencia de discos entre $A_{21}$ y $A_{22}$ y denotamos esta construcción como $\bigcup_{n=1}^\infty A_{2n}$ . A continuación, dejemos que $A_{31}$ sea el disco de radio $1/2$ centrado en el punto $(-3,0)$ y que $A_{32}=A_{11}$ . De nuevo hacemos exactamente la misma construcción entre $A_{31}$ y $A_{32}$ y denotarlo como $\bigcup_{n=1}^\infty A_{3n}$ . Procedemos de la misma manera y colocamos los centros de los discos $A_{2k,1}$ en los puntos $(2k+1,0)$ y los centros de los discos $A_{2k+1,1}$ en los puntos $˙(-(2k+1),0)$ y hacer las mismas construcciones que antes para obtener conjuntos $\bigcup_{n=1}^\infty A_{(2k),n}$ y $\bigcup_{n=1}^\infty A_{(2k+1),n}$ .

Dejemos que ${\bigcup_{k=1}^\infty} {\bigcup_{n=1}^\infty A_{k,n}}=\bigcup_{n=1}^\infty D_n$ . Supongamos ahora que $\mathbb{R}^2 -\bigcup_{n=1}^\infty D_n$ es un camino conectado. Elija un punto por encima del $x$ -eje y uno por debajo $x$ -eje. Si $\mathbb{R}^2 -\bigcup_{n=1}^\infty D_n$ es un camino conectado, entonces debe haber un camino que conecte esos dos puntos. Como un punto está por debajo del $x$ -eje y el otro por encima de la trayectoria debe cruzar $x$ -eje en algún momento $x_0$ . Supongamos ahora que el punto en el que la trayectoria cruza el $x$ -El eje no está en algunos de los discos y no está en el límite de algún disco. Esto significa que el punto está a una distancia positiva del disco más cercano, es decir, que hay un $\varepsilon>0$ tal que el intervalo abierto $({x_0}-{\varepsilon}, {x_0}+{\varepsilon})$ tiene una intersección vacía con cada disco.

Eso significaría que en el $x$ -hay una zona libre de discos de longitud $2 \varepsilon$ entre dos discos vecinos de radio $1/2$ pero eso no es posible porque por construcción la distancia sobre el $x$ -entre dos discos vecinos de radio $1/2$ es $1$ y se llena de discos más pequeños porque los discos más pequeños entre dos discos de radio $1/2$ tienen una longitud total igual a $1(1/2)+2(1/2^3)+4(1/2^5)+...+2^{n-1}(1/2^{(2n-1)})+...=1$ .

Answer 5

Añadiré otra respuesta, que depende de la suposición de que el conjunto $\mathbb{R}^2 -\bigcup_{n=1}^\infty D_n$ es incontable y en el supuesto de que para cada punto $(x,y)$ en el plano hay un punto en el conjunto $\mathbb{R}^2 -\bigcup_{n=1}^\infty D_n$ que está a la distancia positiva (quiero decir estrictamente positiva aquí y abajo en la prueba donde uso la palabra positiva ( $>0$ )) desde el punto $(x,y)$ . Y en esta me veo obligado a usar el axioma de elección (al menos me parece que lo estoy usando porque no estoy del todo seguro de cómo interpretar este proceso que me lleva a la conclusión final y porque no sé lo suficiente sobre ese axioma) porque no veo alguna forma suficientemente inteligente y rigurosa de resolver esta cuestión sin usar ese axioma.

Así pues, elijamos ahora dos puntos del conjunto $\mathbb{R}^2 -\bigcup_{n=1}^\infty D_n$ y llamarlos $A$ y $B$ . Pondré $A=(0,0)$ y $B=(1,0)$ porque, independientemente de los dos puntos que elijamos, siempre podemos girar y escalar el plano para que el problema se reduzca al problema entre esos dos puntos.

Ahora, define los conjuntos $S(\varepsilon)$ como $S(\varepsilon)=[0, \frac {1}{2} + \varepsilon]$ donde $\varepsilon \in [0, \frac{1}{2}]$ . Elijamos ahora algunos $\varepsilon_0$ de $[0,\frac{1}{2}]$ sólo para ilustrar el proceso de construcción de un camino. Este $\varepsilon_0$ corresponde al conjunto $S(\varepsilon_0)=[0,\frac{1}{2}+\varepsilon_0]$ .

Construimos un camino de esta manera. Primero partimos del segmento de recta que va desde el punto $A$ al grano $B$ . Cuando hayamos elegido $\varepsilon_0$ determina el punto $(0,\frac{1}{2}+\varepsilon_0)$ . Ahora elegimos algún punto del plano del conjunto $\mathbb{R}^2 -\bigcup_{n=1}^\infty D_n$ que está a la distancia positiva del punto $(0,\frac{1}{2}+\varepsilon_0)$ (bajo el supuesto de que el punto $(0,\frac{1}{2}+\varepsilon_0)$ no está en el conjunto $\mathbb{R}^2 -\bigcup_{n=1}^\infty D_n$ (si lo es podemos dejarlo en su lugar o podemos no hacerlo, la prueba no depende de ese proceso constructivo), denotémoslo como $P_1(\varepsilon_0)$ y utilicemos ese punto para construir un nuevo camino que consiste en dos segmentos de línea, el camino va desde el punto $A$ a $P_1(\varepsilon_0)$ y luego de $P_1(\varepsilon_0)$ a $B$ . Ahora elige el punto medio del segmento de línea que va desde $A$ a $(0,\frac{1}{2}+\varepsilon_0)$ y para ese punto elegir algún punto del conjunto $\mathbb{R}^2 -\bigcup_{n=1}^\infty D_n$ que está a la distancia positiva de ese punto y hacer exactamente lo mismo para el punto medio del segmento de línea que va desde el punto $(0,\frac{1}{2}+\varepsilon_0)$ al grano $B$ . Con esos dos puntos elegidos del conjunto $\mathbb{R}^2 -\bigcup_{n=1}^\infty D_n$ y se denota como $P_2(\varepsilon_0)$ y $P_3(\varepsilon_0)$ construimos un nuevo camino que consiste en los cuatro segmentos de línea, un camino que va desde $A$ a $P_2(\varepsilon_0)$ y luego de $P_2(\varepsilon_0)$ a $P_1(\varepsilon_0)$ y luego de $P_1(\varepsilon_0)$ a $P_3(\varepsilon_0)$ y finalmente de $P_3(\varepsilon_0)$ a $B$ . Después de continuar de esta manera en el $n$ -ésima etapa obtenemos $2^n$ nuevos puntos medios y la curva está formada como máximo por $2^{n+1}$ segmentos de línea (como máximo, porque podríamos en este proceso dejar fijos algunos puntos si ya pertenecen al conjunto $\mathbb{R}^2 -\bigcup_{n=1}^\infty D_n$ ). Ahora dejamos que este proceso tienda al infinito. Al hacerlo obtenemos una curva tal que los puntos de esa curva que son del conjunto $\mathbb{R}^2 -\bigcup_{n=1}^\infty D_n$ son densos en la curva, pero eso no es suficiente para que la curva sea completamente un subconjunto del conjunto $\mathbb{R}^2 -\bigcup_{n=1}^\infty D_n$ .

¿Qué hacer ahora? Bueno, elegimos todos (¿a la vez, o uno por uno? jaja :D ) $\varepsilon$ del conjunto $[0, \frac{1}{2}]$ y hacemos exactamente el mismo proceso para cada uno de los conjuntos $S(\varepsilon)$ como lo hicimos para $S(\varepsilon_0)$ . Si en este proceso de elección de un punto medio de los puntos medios para cada $\varepsilon$ nos encontramos con un punto que ya está en la curva y también del conjunto $\mathbb{R}^2 -\bigcup_{n=1}^\infty D_n$ podemos dejarlos sin tocar o dejarlos sin tocar, no depende de la construcción de la prueba.

Por lo tanto, al hacer este proceso para cada $\varepsilon$ del conjunto $[0, \frac{1}{2}]$ hacemos algún proceso contable un número incontable de veces, para ser más precisos, elegimos incontablemente muchas veces conjuntos contables de puntos y exactamente ese hecho anhela mi suposición de que el conjunto $\mathbb{R}^2 -\bigcup_{n=1}^\infty D_n$ es incontable.

Observación 1: Realmente no sé si esto y procesos como este están permitidos en la construcción de la prueba, pero para mí fue sólo una idea que surgió cuando estaba pensando en este problema. Además, si permitimos líneas de razonamiento como la mía y permitimos el uso de la elección contable e incontable, entonces parece que para cada par de puntos del conjunto $\mathbb{R}^2 -\bigcup_{n=1}^\infty D_n$ podríamos demostrar la existencia de al menos un número contablemente infinito de caminos que conectan esos dos puntos.

Observación 2: Tras releer esta respuesta me he dado cuenta de que también depende de la suposición de que si en el $n$ -ésima etapa tenemos la función $f_n$ cuya gráfica está formada sólo por segmentos de línea y por un máximo de $2^{n+1}$ segmentos de línea entonces $\lim_{n\to\infty}f_n$ es continua.

Observación 3: Desde el punto de vista del rigor no estoy realmente satisfecho con esta prueba porque depende de algunas suposiciones tal vez no triviales de las que soy consciente y tal vez de otras de las que no soy consciente. triviales de las que soy consciente y quizás de otras de las que no soy consciente pero la pongo aquí como un resto para todos los que quizás intenten demostrar el problema de forma similar porque de alguna manera creo que cada intento de demostrar este problema de forma similar al mío tendrá problemas de incontabilidad del conjunto en cuestión y problemas de distancia estrictamente positiva del conjunto en cuestión y problemas de continuidad de la función que es el límite de funciones continuas definidas de esta o de alguna otra manera.