Número de $6$ cifras que se pueden formar con $4$ dígitos específicos diferentes de forma que cada dígito aparezca al menos una vez

Question

Mi problema es que obtengo respuestas diferentes con dos enfoques distintos:

Enfoque 1: He tomado dos casos:

Caso 1: $2$ igual, $2$ igual, $2$ diferente

El número de vías de un caso así es $$\binom{4}2\frac{6!}{2!2!}=1080$$ Caso 2: $3$ igual, $3$ diferente

El número de vías de un caso así es $$\binom{4}1\frac{6!}{3!}=480$$

Por lo tanto, el número total de números que se pueden formar son $1080+480=1560$ .

Enfoque 2: Primero voy a tomar el $4$ dígitos y colocarlos en $4$ espacios en el número a formar que puede hacerse en $\binom{6}44!=360$ formas. Ahora que me he asegurado de que cada dígito ha aparecido una vez, puedo rellenar los 2 lugares restantes en $4^2=16$ maneras( $4$ formas de llenar cada espacio y hay $2$ espacios).

Así que el total de formas es $360×16=5760$ .

¿Dónde me equivoco en alguno de mis planteamientos?

Answer 1

Tu primer enfoque funciona:

1. Elige el número que utilizarás dos o tres veces utilizando una combinación.
2. Existen $6!$ cadenas en 6 dígitos diferentes
3. dividir por la cantidad de arreglos posibles para los dígitos que usaste doble.

El segundo enfoque cuenta el doble: Digamos que tienes que elegir entre los dígitos ${1,2,3,4}$ y usarás 2 y 4 dos veces.

1. Pones 1,2,3,4 en los cuatro primeros puestos, luego 2 en el quinto y 4 en el sexto. Resultado: 123424.
2. Pones 1,2,3,4 en el primer, quinto, tercer y sexto lugar, luego 2 en el segundo lugar y 4 en el cuarto lugar. Resultado: 123424

Sin embargo, has contado esas dos opciones como diferentes en tu segundo planteamiento. Esto no ocurre en tu primer planteamiento.