Sea $f:[-1,1]\to \mathbb R$ tal que $$f(x)=x^2 \sin \frac{1}{x} \quad (x\neq 0)$$ y $$f(0)=0.$$ Para mí está claro que para $x\neq 0,$ $f$ es función diferenciable (por ser producto de dos funciones diferenciables). Así que $f'(x)= 2x \sin \frac{1}{x}-\cos \frac{1}{x}$ para $x\neq 0.$ Además, tengo claro que $f'$ es continua en $x\neq 0$ .
Mis preguntas:
(1) ¿Es $f$ diferenciable en $x=0$ ?
(2) Si es así, puede decirse que su función derivada $f'$ es continua en $0$ ?
(3) ¿Podemos decir que $f$ es continua de Lipschitz en $[-1,1]$ ? es decir, existe $M>0$ tal que $|f(x)-f(y)| \leq M |x-y|$ para $x, y \in [-1,1]$ .
Mis pensamientos: $\lim_{x\to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}= \lim_{x\to 0} x \sin \frac{1}{x}$ . No sé cómo proceder a partir de aquí
