Raíz de Perron de combinación convexa de matrices no negativas

Question

Dadas matrices (irreducibles) no negativas $A_i$ y una ponderación convexa $\hat{w}$ (es decir, un conjunto no negativo de reales ${w}$ s.t. $\sum_i w_i$ ) ¿qué podemos deducir sobre la raíz de Perron de $\sum_i w_i A_i$ en términos de las raíces de Perron de $A_i$ ? Los teoremas clásicos exigen $A_i$ sean todas simétricas (hermitianas) o diagonales.

¿Qué podemos decir sobre los límites de esta raíz de Perron? ¿Aproximaciones?

Answer 1

En el caso general, me temo que no mucho. Evidentemente $\rho(\sum_i A_i)\geq \max_i \rho(A_i)$ pero eso parece ser todo. En particular, no tiene $\rho(\sum_i A_i)\leq \sum_i \rho(A_i)$ como si las matrices fueran simétricas.

Por ejemplo (dejando $\epsilon\approx 0$ sea un número positivo pequeño) con $A_1=\pmatrix{\epsilon & 1\\ \epsilon& \epsilon}$ y $A_2=A_1^t$ tienes $\rho(A_i)\approx 0$ pero $\rho(A_1+A_2)\approx 1$ mientras que para $A_1=\pmatrix{1 &\epsilon\\ \epsilon& \epsilon}$ , $A_2=\pmatrix{\epsilon & \epsilon\\ \epsilon& 1}$ , tienes $\rho(A_i)\approx 1 \approx \rho(A_1+A_2)$ .

EDIT: Para el límite inferior indicado al principio de mi post, puede demostrarse a partir de la caracterización de Collatz-Wielandt del valor de Perron.

En dim $d$ se establece para $x\in {\Bbb R}_+^d$ , $x\neq 0$ y comprendiendo que $\inf\{+\infty,a\}=a$ : $$ \lambda_A(x) = \inf_i \frac{(Ax)_i}{x_i}$$ Entonces C-W nos dice que $\rho(A)=\max\{ \lambda_A(x) : x\in {\Bbb R}_+^d, |x|=1\}$ . Para matrices positivas $A$ y $B$ tenemos claramente $\lambda_{A+B}(x) \geq \max\{ \lambda_A(x), \lambda_B(x)\}$ y se cumple la afirmación.

Answer 2

Dado que se conoce el eigespacio dominante de cada matriz componente (irreducible no negativa), los resultados de L. Yu. Kolotilina solicítelo aquí. En particular, para reformular su Teorema 5:

$$ \rho\left(\sum_i A_i\right) \geq \sum_i \alpha_i \rho(A_i) $$

en la que los coeficientes $\alpha_i$ vienen dadas por un producto de cocientes de los vectores propios izquierdo y derecho para $A_i$ como puede verse en la página 10. Dentro, también discuten el caso de igualdad en el que todos los vectores propios izquierdo y derecho de $A_i$ a saber $u^{(i)}, v^{(i)}$ satisfacer $u^{(i)} \cdot v^{(i)} = c \in \mathbb{R}^N$ .