¿Rango de una función de densidad marginal?

Question

Dada la función de densidad conjunta: $$p(x,y) = \frac{4x^3}{y^3} \text{ when } 0 < x < 1\text{ and } y > x; \text{ otherwise } p(x,y) = 0$$

¿Cómo se calcula la densidad marginal para $Y$ ? Lo hago simplemente por integración sobre el intervalo en el que $X$ (es decir, de 0 a 1), lo que da como resultado $y^{-3}$ . Pero según mi libro de texto, la respuesta es $y^{-3}$ para $y > 1$ y $y$ para $0 < y \le 1$ ? ¿Cómo se nota?

Answer 1

Cuando se integra con respecto a $x$ También hay que tener en cuenta que $x$ no puede ser superior a $y$ . Dibuje la región de integración y verá lo que quiero decir. Por lo tanto, el cálculo correcto es $$f_Y(y) = \int_{x=0}^{\min(1,y)} \frac{4x^3}{y^3} \, dx = \frac{\min(1,y^4)}{y^3} = \min(y^{-3},y) = \begin{cases} y^{-3}, & 0 < y \le 1 \\ y, & y > 1. \end{cases}$$

Answer 2

La mejor manera de entender esta respuesta es dibujar un gráfico que muestre los rangos de $x$ y $y$ . Trace una línea vertical en $x=1$ para mostrar ese valor límite y trazar la línea $y=x$ . Ahora sombree la región que corresponde a $y>x$ . Debería poder ver que el rango de $y$ puede dividirse en dos partes: $y>1$ y $0<y\le1$ . Llegados a este punto, es de esperar que los límites de integración de cada parte estén claros.

Answer 3

De nuevo un ejemplo de que hay que considerar los PDF como funciones definidas en todo el espacio de productos . Aquí $p:\mathbb R^2\to\mathbb R$ se define, para cada $(x,y)$ en $\mathbb R^2$ como $$p(x,y)=4x^3y^{-3}\,\mathbf 1_{0\lt x\lt1}\,\mathbf 1_{y\gt x},$$ por lo tanto, por definición la densidad $p_Y$ de $Y$ se define, para cada $y$ en $\mathbb R$ por $$p_Y(y)=\int_{-\infty}^\infty p(x,y)\,\mathrm dx.$$ Ahora podemos tener en cuenta la forma específica de $p$ que conduce a $$p_Y(y)=4y^{-3}\int_0^1x^3\,\mathbf 1_{y\gt x}\,\mathrm dx=4y^{-3}\int_0^{\min(1,y)}x^3\mathrm dx=y^{-3}\,\left.x^4\right|_0^{\min(1,y)}=y^{-3}\,\min(1,y)^4,$$ que es equivalente a la fórmula de dos partes que te dieron.