¿Depende el mapa de Riemann continuamente del dominio?

Question

Siempre lo había dado por sentado hasta hace poco:

En el caso más sencillo, dada la curva de Jordan $C \subseteq \mathbb{C}$ que contiene una vecindad de $\bar{0}$ en su interior. Dadas las parametrizaciones $\gamma_1:S^1 \rightarrow C$ .

¿Es cierto que para todos $\varepsilon >0$ existe $\delta >0$ en cualquier curva de Jordan $C'$ con una parametrización $\gamma_2:S^1 \rightarrow C_2$ para que $||\gamma_1-\gamma_2||<\delta$ en la norma uniforme implica los mapas de Riemann $R, R'$ de $\mathbb{D}$ a los interiores de $C, C'$ que fija el origen y tiene derivadas reales positivas en $\bar{0}$ sería como máximo $\varepsilon$ ¿Aparte?

Answer 1

He aquí una prueba conceptual de por qué esto es cierto, hasta cosas que son intuitivamente obvias y no difíciles de demostrar:

En el disco unitario, casi todas las trayectorias brownianas chocan con la frontera. La medida de impacto es igual a proporcional a la longitud del arco. En dos dimensiones, un mapa conforme lleva trayectorias de caminos brownianos a trayectorias de caminos brownianos: sólo cambia la parametrización temporal. (Esto es una consecuencia del hecho de que los mapas conformes llevan funciones armónicas a funciones armónicas; las funciones armónicas son las funciones cuya expectativa es invariante bajo el movimiento browniano).

De ello se deduce que el empuje hacia adelante de la longitud de arco del disco unitario a través del mapeo de Riemann es la probabilidad de acierto para trayectorias brownianas que parten de la imagen del origen. Su pregunta equivale a preguntar si la medida de los intervalos en tus curvas de Jordan parametrizadas es uniformemente continua con respecto a la topología uniforme sobre curvas de Jordan parametrizadas.

Es intuitivamente obvio, así como cierto y no difícil de demostrar (más explicaciones a continuación), que una trayectoria browniana que partiendo de un punto $z$ dentro de un dominio de Jordan cercano a la frontera es probable que choque con la frontera cercana. Este hecho implica rápidamente la continuidad que necesita: seguir movimiento browniano hasta que llegue dentro de $2 \epsilon$ de la curva límite inicial, por lo que es entre $\epsilon$ y $3 \epsilon$ de la curva perturbada. Cuando continúa el movimiento browniano, la mayor parte no puede desplazarse mucho antes de chocar.

(Nota: dada una curva de Jordan, hay que tomar $\epsilon$ lo suficientemente pequeños como para que los intervalos cortos medidos por la medida de impacto sean también cortos en la curva, para poder concluir que la cartografía de Riemann no se desplaza mucho cuando se perturba la curva).

Hay varias formas de demostrar que a ; una forma es elevar continuamente a una rama del mapa $\log(z-z_0)$ donde $z_0$ es el punto más cercano a la frontera. Ahora el paseo aleatorio tiene lugar en una franja arbitrariamente larga de anchura no superior a $2 \pi$ tiene pocas posibilidades de permanecer en la franja el tiempo suficiente para desplazarse a lo largo de ella. Esto se deduce del hecho de que una trayectoria browniana en 1 dimensión tiene una gran probabilidad de salirse de de un intervalo de longitud $2 \pi$ al cabo de cierto tiempo.

Otra forma de demostrar que las trayectorias brownianas tienen probabilidades de chocar cerca en la curva es hacer uso de la estimación para la métrica de Poincaré en el interior de un dominio: no varía en más de un factor de 2 con respecto a 1/(distancia mínima al límite). Con esta estimación, se puede demostrar que para un gran disco de Poincaré centrado en $z$ cerca de a punto límite $z_0$ la mayor parte de su longitud de arco se aprieta cerca de $z_0$ .

Nota al margen: Brouwer demostró (en su marco intuicionista) que toda función que está definida en todas partes es continua, por lo que desde este punto de vista el teorema de Caratheodory de Caratheodory sobre la continuidad en el límite implica continuidad. Sin embargo, hay que comprobar que el teorema de Caratheodory es cierto desde el punto de vista intuicionista. Brouwer rechazó posteriormente su famoso teorema del punto fijo por este motivo.

Answer 2

Sí. Se trata de un resultado clásico de la teoría de funciones geométricas debido a Carathéodory.

El teorema y una demostración bastante sencilla pueden encontrarse, por ejemplo, en el Hurwitz-Courant Funktionentheorie (en la parte escrita por Courant).

Edita. Teoría de las funciones de variable compleja de Markushevich podría ser una referencia más accesible (véase el volumen 3, teorema 2.1).

Edita 2. Por cierto, existen secuencias de dominios $\{G_n\subset\mathbb C:\ n\in\mathbb N\}$ tal que $$\limsup_{n\to\infty}\ \mbox{dist}(\partial G_n, \partial G)>0$$ pero los mapas de Riemann correspondientes $\phi_n:\mathbb D\to G_n$ convergen uniformemente en $\mathbb D$ al mapa de Riemann $\phi:\mathbb D\to G$ .

Por ejemplo $G_n$ sea la unión de dos rectángulos disjuntos $G'$ y $G''$ conectado con un rectángulo "delgado" de longitud fija $l$ y anchura $h_n=1/n$ (véase la imagen de abajo).

Sea $z_0\in G'$ . Entonces la secuencia de los mapas conformes $f_n:G_n\to\mathbb D$ que cumplan las condiciones $$f_n(z_0)=0,\qquad f'_n(z_0)>0,$$ converge uniformemente en $G'$ al mapa conforme $f:G'\to\mathbb D$ que cumplan la misma condición. Además, la secuencia de los mapas inversos $\phi_n:\mathbb D\to G_n$ converge uniformemente en $\mathbb D$ a $\phi=f^{-1}$ . El teorema general de Carathéodory da un criterio de convergencia de los mapas de Riemann en términos de los dominios correspondientes.

Answer 3

Este hecho es precisamente el Teorema 2.11 del libro Comportamiento límite de los mapas conformes por Pommerenke. Se desprende de Teorema del núcleo de Caratheodory .