Función phi de Euler generalizada

Question

Sea $n$ sea un número entero, existe una fórmula bien conocida para $\varphi(n)$ donde $\varphi$ es la función phi de Euler. Esencialmente, $\varphi(n)$ da el número de elementos invertibles en $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ . Mis preguntas son:

1) Dado que los dominios Dedekind tienen el mismo teorema de factorización para ideales análogo al de los enteros, ¿se puede definir un tipo de función phi de Euler generalizada para un ideal de un dominio Dedekind, es decir, $\varphi(I)$ dará el número de elementos invertibles en $R/I$ ¿existe una buena fórmula para ello? Me parece lógico que tal vez la fórmula deba parecerse a la del número entero, utilizando la factorización de $I$ en ideales primos. Pero no tengo una idea concreta de lo que debería ser.

2) ¿Qué pasa con los dominios que no son Dedekind, más específicamente, ¿cuáles son las hipótesis mínimas que uno puede imponer en un dominio de modo que uno puede tener tal vez una fórmula para Euler phi tipo de función en los ideales? No estoy seguro de si esto tiene sentido en este momento.

Answer 1

Sí, existe una fórmula para $\varphi(I)$ en el caso de los campos numéricos. Sea $R$ sea el anillo de enteros de un campo numérico. Como se menciona en el comentario de Greg, basta con considerar el caso $I=\mathfrak{p}^n$ donde $\mathfrak{p}$ es un ideal maximal de $R$ . Entonces tenemos un morfismo suryectivo de anillo

\begin{equation} \frac{R}{\mathfrak{p}^n} \to \frac{R}{\mathfrak{p}} \end{equation} tal que la preimagen de $(R/\mathfrak{p})^{\times}$ es exactamente $(R/\mathfrak{p}^n)^{\times}$ (esto se debe a que $R/\mathfrak{p}^n$ es local). Así, $\varphi(\mathfrak{p}^n) = q^{n-1}(q-1)$ donde $q=\operatorname{Card} (R/\mathfrak{p})$ .

Obsérvese que existen dominios Dedekind $R$ tal que $R/I$ nunca es finito para $I \neq R$ Por ejemplo $R=\mathbf{C}[T]$ .

Para definir una función $\varphi$ para anillos generales, se necesitaría obviamente la hipótesis de que $(R/I)^{\times}$ es finito, pero entonces sólo está claro que $\varphi$ es (débilmente) multiplicativa en el sentido de que $\varphi(I\cdot J) = \varphi(I) \varphi(J)$ si $I+J=R$ .

Answer 2

Sea $R$ sea un dominio Dedekind y $\zeta_R$ es la función zeta. Utilizando la inversión de Mobius en $|R/I|=\sum _{J|I}|(R/J)^*|$ y el hecho de que $\zeta_R(s)^{-1}=\sum \mu(I)/N(I)^s$ se obtiene la identidad $$\frac{\zeta_R(s-1)}{\zeta_R(s)}=\sum \frac{\phi(I)}{N(I)^s}$$ La fórmula de Euler para la función totiente generalizada se deduce del producto de Euler y se obtiene $$\phi(I)=N(I)\prod_{P|I}(1-N(P)^{-1})$$ donde el producto abarca todos los ideales primos que dividen a $I$ . Si no estás en un dominio Dedekind, la única parte que no se generaliza es el producto de Euler para la función zeta, o equivalentemente la factorización única en ideales primos, sin la cual no hay muchas esperanzas de una fórmula para esta función totiente.

Answer 3

Una referencia antigua y dos nuevas : Página 13 de W. Narkiewicz, Elementary and Analytic Theory of Algebraic Numbers, tercera edición, Springer Monogr. Math., Springer-Verlag, 2004.

C.Miguel, Menon's identity in residually finite Dedekind domains, Journal of Number Theory 137 (2014) 179-185. DOI: 10.1016/j.jnt.2013.11.003

A. Kobin, A Primer on Zeta Functions and Decomposition Spaces, arXiv:2011.13903v1 .