Retracción holomórfica $\implies$ ¿barrio tubular holomorfo?

Question

Sea $M$ sea una variedad compleja y $S \subset M$ una submanifold compleja compacta junto con una retracción holomórfica $$r : M \to S,$$ es decir, un mapa holomorfo que restringe a la identidad en $S$ .

Pregunta. ¿Existe una vecindad tubular holomorfa de $S$ en $M$ ?

(Es decir, un barrio $U$ del haz normal de $S$ en $M$ junto con un biholomorfismo de $U$ a un barrio de $S$ en $M$ que restringe a la identidad en $S$ .)

Observaciones.

(1) Si existe una vecindad tubular, entonces el mapa de haces da tal retracción (después de sustituir $M$ por una vecindad de $S$ en $M$ ).

(2) Existen obstáculos bien conocidos para las vecindades tubulares holomorfas. Por ejemplo [1], si existe una vecindad tubular entonces las secuencias exactas cortas $$0 \to \mathcal{I}_S / \mathcal{I}_S^{k + 1} \to \mathcal{O}_M/\mathcal{I}_S^{k+1} \to \mathcal{O}_S \to 0$$ dividir para todos $k \ge 1$ . Pero, por supuesto, en nuestro caso todas estas secuencias se dividen a través de $r^* : \mathcal{O}_S \to \mathcal{O}_M$ . Existe otra condición en [1] denominada $k$ -cómodamente incrustado, pero no estoy seguro de cómo se relaciona con una retractación.

Referencias.

[1] Abate, M.; Bracci, F.; Tovena, F. Embeddings of submanifolds and normal bundles. Adv. Math. 220 (2009), no. 2, 620-656.

Answer 1

De hecho, la secuencia exacta corta anterior $\textit{doesn't}$ divisiones incluso en caso de retracción y $k=1$ . Lo que quiero decir es lo siguiente.

De hecho, se divide como una secuencia de $\mathcal{O}_S$ -módulos. Ahora tomemos $S$ sea la diagonal en $M=S\times S$ . Ponga $k=1$ y considerar la secuencia de $\mathcal{O}_M$ -módulos. Esta ext es la llamada clase de Atiyah. Afirmo que una vecindad tubular de $S$ define una conexión holomórfica en $T_S$ .

En nuestro caso, el haz normal a $S$ es el haz tangente $T_S$ . El vecindario tubular de cada $x\in S$ define la identificación $f_x$ de un barrio $0\in T_x$ con una vecindad de $x\in S$ . Por lo tanto, para cada $x,y\in S$ está bien definido ${f_x}^{-1}(y)\in T_x$ . Utilización del transporte paralelo afín $P_{x\to y}:T_x\to T_x$ en $T_x$ donde $P_{x\to y}v=v+f^{-1}(y)$ se obtiene una identificación natural de $T_x$ con $T_y$ vía $df|_{f^{-1}(x)}\circ P_{x\to y}$ .

Nuestra clase de Atiyah $A\in Ext^1(\mathcal{O}_S,\mathcal{I}_S/\mathcal{I}_S^2)$ es el universal: para una gavilla $E$ en $S$ puede considerar $A_E={\pi_2}_*(\pi_1^*E\otimes A)\in Ext^1_S(E,\Omega^1_S\otimes E)$ donde $\pi_i$ son proyecciones $S\times S\to S$ . Es bien sabido que $A_E$ es una obstrucción completa para la existencia de una conexión holomórfica sobre $E$ . Esto ocurre raramente, ya que la clase Atiyah $A_{E}$ puede utilizarse para expresar las clases de Chern de $E$ (véase el artículo de Markaryan sobre el tema).

En particular, si las clases de Chern de $T_S$ son distintos de cero, entonces no hay conexión holomórfica y, como corolario, no hay vecindad tubular.

PS A partir de este punto la existencia de una vecindad tubular de la diagonal puede implicar la desaparición de una estructura muy rica proporcionada por el álgebra de Co-Lie derivada definida por $A_{\Omega}$ . Estaría bien ver si hay ejemplos de diagonales propias que admitan una vecindad tubular que no sean variedades abelianas.