Puntos genéricos y entropías locales

Question

Sea $X=\{1,\dots,p\}^\mathbb{N}$ es el espacio de secuencias sobre un alfabeto finito con una métrica que induce la topología del producto, y sea $\sigma\colon X\to X$ sea el mapa de desplazamiento. Sea $\mu$ ser un $\sigma$ -medida de probabilidad de Borel invariante en $X$ .

Un punto $x\in X$ es genérico para $\mu$ si $\frac 1n S_n\phi(x) \to \int \phi\\,d\mu$ para cada $\phi\in C(X)$ donde $S_n \phi(x) = \phi(x) + \phi(\sigma x) + \cdots + \phi(\sigma^{n-1}x)$ . Denotemos por $G_\mu$ el conjunto de $\mu$ -puntos genéricos.

Hecho nº 1. Si $\mu$ es ergódica, entonces el teorema ergódico de Birkhoff implica que $\mu(G_\mu)=1$ .

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En entropía local de un punto $x\in X$ es $h_\mu(x) = \lim_{n\to\infty} -\frac 1n \log \mu([x_1\dots x_n])$ donde $[x_1 \dots x_n] = \{ y\in X \mid y_i = x_i \\,\forall 1\leq i\leq n\}$ siempre que exista el límite. Denotemos por $Z_\mu$ el conjunto de puntos $x$ para lo cual $h_\mu(x)$ existe y es igual a la entropía medida-teórica $h_\mu(\sigma)$ .

Hecho nº 2. Si $\mu$ es ergódica, entonces Shannon-McMillan-Breiman implica que $\mu(Z_\mu)=1$ .

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La medida $\mu$ es una medida de Gibbs si existe una función $\phi\in C(X)$ y constantes $K,P>0$ tal que $$ K^{-1} \leq \frac{\mu([x_1\dots x_n])}{e^{-nP + S_n \phi(x)}} \leq K $$ para cada $x\in X$ y $n\in \mathbb{N}$ .

Hecho nº 3. Si $\mu$ es una medida de Gibbs, entonces $G_\mu \subset Z_\mu$ . Es decir, la entropía local de un punto $x$ con respecto a $\mu$ es "lo que debería ser" siempre que los promedios de Birkhoff de funciones continuas a lo largo de la órbita de $x$ son "lo que deberían ser".

(En realidad, es aún más cierto: para una medida de Gibbs la entropía local $h_\mu(x)$ de cualquier punto $x$ está completamente determinada por las medias de Birkhoff $\frac 1n S_n \phi(x)$ de una única función).

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Pregunta. ¿Cuál es la clase más amplia de medidas para las que la inclusión $G_\mu \subset Z_\mu$ es decir, ¿para qué genericidad para las medias de Birkhoff de funciones continuas implica genericidad para las entropías locales? ¿Se cumple para todos ¿medidas ergódicas? Si no es así, ¿existe una clase natural de medidas más allá de las medidas de Gibbs (y varias nociones de medidas de Gibbs débiles) para las que sí se cumple?

Pregunta relacionada. Las medidas de Gibbs (y las medidas de Gibbs débiles) tienen la propiedad de que existe una función $\phi\in C(X)$ tal que $h_\mu(x)$ está completamente determinada por $\frac 1n S_n \phi(x)$ para cada $x\in X$ . (No sólo para un conjunto de medidas completo de $x$ -- esto es cierto para todas las medidas ergódicas). ¿Existe algún ejemplo de medida $\mu$ tal que no exista una única función $\phi\in C(X)$ cuyas medias de Birkhoff determinan $h_\mu(x)$ pero existe dos función $\phi_1, \phi_2\in C(X)$ tal que $h_\mu(x)$ está completamente determinada por $\frac 1n S_n \phi_i(x)$ para $i=1,2$ ?

Answer 1

Mi sensación es que existe una medida ergódica $\mu$ para lo cual $G_\mu \setminus Z_\mu$ no es vacío. Basta con encontrar un subsistema únicamente ergódico que admita puntos excepcionales para el teorema de Shannon-McMillan-Breiman. Creo que se puede construir uno simbólicamente sin demasiada dificultad por el método siguiente.

Elige un número real $h$ estrictamente entre 0 y $\log 2$ y consideremos una secuencia $x$ en el turno 2 con las siguientes propiedades:

1) Para cada $n \geq 1$ la secuencia contiene precisamente $e^{nh + o(n)}$ palabras distintas de longitud $n$ . (Por razones de subaditividad el $o(n)$ es necesariamente positivo).

2) Cada palabra que aparece en $x$ se produce con una frecuencia bien definida que no es igual a 0 ni a 1.

El cierre de la órbita $X$ de tal secuencia es entonces un subsistema únicamente ergódico del desplazamiento con entropía topológica igual a $h$ . Grillenberger dio en los años 70 un procedimiento explícito para construir una secuencia de este tipo (en mi opinión, no es especialmente difícil). En concreto, $X$ admite una medida invariante única $\mu$ y $G_\mu$ incluye la totalidad de $X$ . Ahora, supongamos que la palabra $x$ también satisface la propiedad:

3) Existe una secuencia anidada de subpalabras de $x$ tal que la frecuencia de cada una de estas palabras sea inferior a $e^{-n(h+\varepsilon)}$ para algunos $\varepsilon>0$ .

Esto implica que existe una secuencia anidada de conjuntos de cilindros en $X$ que contiene algún punto, de forma que las medidas de estos conjuntos de cilindros disminuyen a un ritmo más rápido que la entropía local "estándar". $h$ y, por tanto, el punto en la intersección de los cilindros pertenece a $G_\mu$ pero no a $Z_\mu$ .

Creo que no debería haber ningún problema en conciliar estos tres criterios entre sí, pero admitiré que no he intentado escribir una prueba de ello. Creo que parece razonable que para una clase de medidas mayor que las medidas de Gibbs deberíamos tener $G_\mu \subseteq Z_\mu$ ...pero no tengo mucho que aportar a ese extremo de la cuestión...