Análogo de los conjuntos simpliciales

Question

Esta pregunta está motivada por éste (y algunos de los comentarios que suscitó).

Complejo simplicial es a complejo simplicial ordenado como $X$ es un conjunto simplicial. La pregunta es sobre $X$ .

Sea $\text{Unord}$ sea la subcategoría completa de $\text{Set}$ cuyos objetos son los conjuntos $[n]=\lbrace 0,\dots ,n\rbrace$ para $n\ge 0$ . Un objeto de $\text{Set}^{\text{Unord}^{\text{op}}}$ es básicamente un conjunto simplicial $X_\bullet$ con un $\Sigma_{n+1}$ -acción sobre $X_n$ para todos $n$ . El functor obvio $\Delta:\text{Unord} \to \text{Top}$ (que crea un simplex con un conjunto de vértices dado) determina un functor $$ \text{Set}^{\text{Unord}^{\text{op}}} \to \text{Top} $$

Esto tiene un adjunto izquierdo análogo a la realización de conjuntos simpliciales.

¿Es el cómputo de esta adjunción una equivalencia homotópica débil para todos los espacios?

En caso afirmativo, ¿es esta conjunción una equivalencia de Quillen para alguna estructura modelo sobre $\text{Set}^{\text{Unord}^{\text{op}}}$ ?

Si no es así, ¿hay alguna otra cosa en esta línea que funcione?

(Esto debe saberse. Parece una pregunta obvia, y de algunos comentarios en la otra pregunta deduzco que al menos en el lado de la homología esto es algo en lo que la gente pensó hace mucho tiempo).

Answer 1

Nunca se me ha ocurrido un contraejemplo, pero no apostaría por una respuesta positiva a la primera pregunta. Sin embargo, la respuesta a la segunda pregunta es sí: esta versión del functor singular es una equivalencia de Quillen derecha para una categoría modelo adecuada sobre $\mathrm{Set}^{\mathrm{Unord}^{op}}$ .

Como ya ha mencionado Mike Shulman, esta teoría de homotopía de conjuntos simétricos simpliciales se estudia en el artículo

J. Rosický y W. Tholen, Categorías de modelos determinados por la izquierda y teorías universales de homotopía Trans. Amer. Math. Soc. 355 (2003), 3611-3623.

En su artículo, construyen la estructura del modelo sobre $\mathrm{Set}^{\mathrm{Unord}^{op}}$ pero debe ser completado por

J. Rosický y W. Tholen, Fe de erratas a "Categorías de modelos determinados por la izquierda y teorías universales de homotopías" Trans. Amer. Math. Soc. 360 (2008), 6179-6179.

en el que los autores explican que, después de todo, la clase de cofibraciones que consideraron no es la clase de todos los monomorfismos (por eso tengo algunas dudas sobre el hecho de que la realización topológica se comportaría bien si no consideramos una resolución cofibrante en la imagen).

Puede encontrar otra construcción de esta categoría modelo (con una descripción explícita de lo que son las cofibraciones) así como su vínculo preciso con el functor de subdivisión de Kan en la sección 8.3 de

D.-C. Cisinski, Las pre vigas como modelos de tipos homotópicos , Astérisque 308 (2006),

como ejemplo de categoría de prueba en el sentido de Grothendieck; véase también este Pregunta MO .