Estos argumentos sobre la no evanescencia de $p$ -adic $L$ -¡las funciones son geniales! Nunca las había visto antes.
Lo que escribo aquí no es ni una respuesta a tu pregunta ni una prueba real de ningún tipo. Pero creo que al menos sigue el hilo general de lo que preguntas.
En concreto, intenté utilizar funciones L p-ádicas de 2 variables y la no evanescencia de $p$ -adic $L$ -de formas modulares de mayor peso para deducir el teorema de Rohrlich en el caso de peso 2 (es decir, la no evanescencia de $L(f,\chi,1)$ para $f$ una forma de peso 2 para todos menos finitamente muchos $\chi$ de $p$ -conductor de potencia). En realidad no funcionó, ya que tengo que suponer la no evanescencia de alguna mu-invariante, que es algo muy profundo, pero creo que el argumento es lo suficientemente divertido como para presentarlo en cualquier caso.
Este es el argumento: poner el peso original 2 forma $f$ en una familia Hida, y escribir la correspondiente 2-variable $p$ -adic $L$ -función. Para simplificar, permítanme suponer que el álgebra de Hecke ordinaria en este caso es simplemente $\Lambda = {\bf Z}_p[[S]]$ . Aquí se establece $S=\gamma^k-1$ especializarse al peso $k$ donde $\gamma$ es un generador topológico de ${\bf Z}_p^\times$ .
Entonces las dos variables $p$ -adic $L$ -puede considerarse como una serie de potencias en ${\bf Z}_p[[S,T]]$ . Diga $$ L_p(S,T) = a_0(S) + a_1(S)T + a_2(S)T^2 + \dots $$
Primero permítanme señalar que esta serie de potencias es distinta de cero. De hecho, interpola el $p$ -adic $L$ -de cada forma clásica de la familia Hida que ya se ha observado que son distintas de cero en peso mayor que 2 (sin invocar el teorema de Rohrlich).
Ahora supongamos que al menos una forma de la familia Hida tiene cero $\mu$ -invariante. Esto significa que hay algún peso k tal que $$ L_p(f_k,T) = L_p(\gamma^k-1,T) = a_0(\gamma^k-1) + a_1(\gamma^k-1)T + a_2(\gamma^k-1)T^2 + \dots $$ tiene un valor distinto de cero $\mu$ -invariante. En particular, para algunos $i \geq 0 $ , $a_i(\gamma^k-1)$ no es divisible por $p$ . Esto implica que $a_i(S)$ es una unidad en ${\bf Z}_p[[S]]$ y, en particular, es distinto de cero. Por lo tanto, el $p$ -adic $L$ -función en peso 2 $$ L_p(f_2,T) = L_p(\gamma^2-1,T) = a_0(\gamma^2-1) + a_2(\gamma^2-1)T + \dots + a_i(\gamma^2-1)T^2 + \dots $$ es distinto de cero ya que $a_i(\gamma^2-1)$ es distinto de cero.
Permítanme señalar que uno tiene que hacer frente a esta $\mu$ de alguna manera. Posiblemente las dos variables $p$ -adic $L$ -la función podría haber tenido el aspecto siguiente $$ L_p(S,T) = (S - (\gamma^2-1)) + 0T + 0T^2 + \dots $$ La especialización de esta serie de potencias a peso 2 desaparece entonces. Pero nótese, esto significaría que cada forma en esta familia de Hida tiene positivo $\mu$ -invariantes, y además, estas $\mu$ -invariantes explotan a medida que te acercas al peso 2. (Posiblemente haya alguna razón fácil por la que esto no pueda ocurrir, pero no veo ninguna).
