Puede cualquier armónico de la función en $\{z:0<|z|<1\}$ extenderse a $z=0$?

Question

Después de mirar esta pregunta desde hace bastante tiempo, he preguntado a un par de otros estudiantes, y también los que no podía dar una respuesta. Esto es de un antiguo examen de calificación en nuestra universidad.

Deje $u$ ser una función armónica, delimitada en el set $\{z:0 < |z| < 1\}$. Puede siempre ser definida en el punto de $ z= 0$ a ser armónico en el conjunto de la unidad de disco?

El argumento estándar con el logaritmo no funciona aquí, como debe de ser limitado en el disco perforado, y el logaritmo de los golpes en $0$. También, que no podemos utilizar cualquier tipo de armónica conjugada argumento debido a que nuestro dominio no está simplemente conectado. Por lo tanto, creo que es probablemente cierto, pero no he sido capaz de llegar con una prueba.

Gracias de antemano por cualquier ayuda!

Answer 1

Sí, usted puede extender $u$ a un armónico de la función $U$ definido en todo el disco $D=\{z\in \mathbb C:0 < |z| < 1\}$.

Tome un círculo de radio $0\lt r\lt 1$. La clave del problema es la observación de que si la extensión armónico $U$ existe, será dado por $\mid z\mid \lt r$ por la fórmula de Poisson $$U(z) =\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} u(re^{i\theta})P(r,\theta,z) d\theta$$ where $$ P(r,\theta,z)=\frac{r^2-\mid z\mid }{\mid re^{i\theta}-z\mid}^2 $$ es el núcleo de Poisson.
Por el contrario, $U$ definido por la fórmula anterior es armónica en $\lbrace z\in \mathbb C:0 < |z| < r\rbrace$ : esto se conoce como la solución del problema de Dirichlet por Poisson integral de la fórmula.
Que $U$ coincide con $u$$\lbrace z\in \mathbb C:0 < |z| < r\rbrace$, por lo que armónicamente se extiende $u$ a través de $0$ requiere un poco de aproximación argumento de que encontrarán en la página 33 de este libremente disponible del libro en armónica de funciones.

Answer 2

Deje $M = \sup_{0<|z|<1} |u(z)|$. Por la hipótesis, $M$ es finito.

Ahora tenga en cuenta que si $z \neq 0$, entonces para todos los $0 < r < |z|$$0 < \epsilon < \min\left(r, \frac{1}{2}|z|\right)$, tenemos

$$\left|\oint_{|\zeta|=r}\frac{u(\zeta)}{\zeta-z}\;d\zeta\right| = \left|\oint_{|\zeta|=\epsilon}\frac{u(\zeta)}{\zeta-z}\;d\zeta\right| \leq \oint_{|\zeta|=\epsilon}\left|\frac{u(\zeta)}{\zeta-z}\right|\;\left|d\zeta\right| \leq \oint_{|\zeta|=\epsilon}\frac{M}{|z|/2}\;\left|d\zeta\right| = \frac{4\pi M}{|z|}\epsilon,$$

lo que implica, por tomar $\epsilon \to 0$, que

$$ \oint_{|\zeta|=r}\frac{u(\zeta)}{\zeta-z}\;d\zeta = 0. $$

Por lo tanto si arreglamos $0 < R < 1$ y definir

$$\tilde{u}(z) = \frac{1}{2\pi i}\oint_{|\zeta|=R}\frac{u(\zeta)}{\zeta-z}\;d\zeta$$

para $|z| < R$, luego por una simple aplicación de Cauchy de la integración de la fórmula, para todos los $0 < |z| < R$ hemos

$$ \begin{align*} \tilde{u}(z) = \frac{1}{2\pi i}\oint_{|\zeta|=R}\frac{u(\zeta)}{\zeta-z}\;d\zeta &= \frac{1}{2\pi i}\oint_{\partial (B_R \setminus B_{|z|/3})}\frac{u(\zeta)}{\zeta-z}\;d\zeta + \frac{1}{2\pi i}\oint_{|\zeta|=|z|/3}\frac{u(\zeta)}{\zeta-z}\;d\zeta \\ &= u(z) + 0 = u(z). \end{align*}$$

Ahora desde $\tilde{u}(z)$ es analítica en $|z| < R$, por encolado $u$ $\tilde{u}$ obtenemos una analítica de la función de la unidad de disco que coincide con $u$ sobre el salpicado de la unidad de disco.