¿Qué es la teoría de homotopía de categorías?

Question

He oído que Grothendieck, en su carta "Pursuing Stacks", quería encontrar modelos alternativos para la clásica categoría homotópica de complejos CW y mapas continuos (hasta la homotopía), y una de las ideas que propuso fue una "teoría homotópica de categorías". ¿Qué significa esto exactamente?

Sé que cualquier categoría corresponde a un conjunto simplicial (su nervio), y una equivalencia de categorías introduce una equivalencia homotópica (en la categoría de conjuntos simpliciales) de los nervios asociados. También sé que existe una caracterización de (los nervios de) categorías entre conjuntos simpliciales en términos de una única condición de extensión de relleno. Si se debilita esta condición de extensión, de modo que se obtenga la noción de una cuasicategoría o $\infty$ -se puede obtener una estructura modelo en la que las cuasicategorías son los objetos fibrantes.

Pero si sólo queremos trabajar con categorías ordinarias, ¿existe una estructura modelo natural sobre conjuntos simpliciales en la que éstos sean los objetos fibrantes? Y si es así, ¿es esta estructura de Quillen equivalente a la estructura modelo (Quillen/Serre) de los espacios topológicos?

Answer 1

No estoy lo suficientemente informado como para tener mucho que decir que no he escrito en mi respuesta a una pregunta anterior suya y creo que la respuesta de David Roberts (o, más bien inmodestamente, la mía anterior) ofrece lo que usted buscaba en relación con su primera pregunta. Sólo unas pequeñas puntualizaciones adicionales:

Persiguiendo pilas no es una letra. Véase el comentario de Tim Porter.

En cuanto a la opinión de Grothendieck sobre la estructura del modelo de Thomason, no lo sé. En realidad, no estoy seguro de que conociera la estructura del modelo de Thomason cuando escribió Persiguiendo pilas [EDIT: véase el comentario de Tim Porter más abajo]. Lo que sabía con certeza era que la localización de $Cat$ con respecto a las equivalencias débiles clásicas (functores entre categorías pequeñas cuyo nervio son equivalencias débiles simpliciales) es equivalente a la categoría homotópica clásica. La primera prueba se debe a Quillen e Illusie "escribió los detalles" (sus palabras) en su tesis. (Por cierto, existe una prueba bastante más sencilla.) Las estructuras modelo aparecen en Persiguiendo pilas en algún momento, pero estoy bastante seguro de que la idea no se desarrolla al principio, que se ocupa mucho más de meros modelos de tipos de homotopía. He aquí una cita del capítulo 75: "la noción de estructura asférica - que, junto con la noción estrechamente relacionada de estructura de contractibilidad que ya se ha tratado anteriormente, y las distintas "nociones de prueba" ( por ejemplo, categorías de pruebas y functores de prueba ) me parece la principal recompensa hasta ahora de nuestro esfuerzo por llegar a comprender un formalismo general de los "modelos de homotopía"." (Cuidado: estas estructuras de asfericidad no son lo que Maltsiniotis llamó "estructuras de asfericidad" en su propio trabajo).

Otro hecho que Grothendieck conocía era, por supuesto, el Teorema A de Quillen. Parece que no escribió una demostración detallada de la versión relativa, pero dio un esbozo de una demostración toposica del mismo, aunque, y lo tomó como un axioma para lo que él llamó localizador básico .

En cuanto a tu segunda pregunta, no lo sé, pero me parece que Grothendieck no estaba muy interesado en los conjuntos simpliciales y, por tanto, no trabajó mucho con ellos. En una carta de 1991 a Thomason, escribió: "Por otra parte, para mí el "paraíso original" del álgebra topológica no es en absoluto la categoría ∆∧ semisimplicial sempiterna, por muy útil que sea, y menos aún la de los espacios topológicos (ambas se remiten a la categoría 2 de los topos, que es como una envoltura común de ellas), sino más bien la categoría Cat de las categorías pequeñas, vista con ojo de geómetra por el conjunto sorprendentemente rico de intuiciones procedentes de los topos. En efecto, los topos que tienen como categorías de haces de conjuntos las C∧ , con C en Cat, son con mucho los más simples de los topos conocidos, y es por haber sentido esto por lo que insisto tanto en el ejemplo de estos topos ("categóricos") en SGA 4 IV". (Véase aquí .)

Para concluir, permítanme mencionar que, si se adopta el punto de vista de Grothendieck sobre el álgebra homotópica, debería existir no sólo una teoría homotópica de categorías, sino una teoría homotópica de $n$ -categorías. En este sentido, debería existir un "Teorema relativo A" para cada $n$ lo que debería permitir definir una noción viable de "base". $n$ -localizador". (En realidad, esto ya se hace para $n=2$ : ver este documento por Bullejos y Cegarra para el Teorema A.) Y entonces se debe elaborar una teoría de la prueba $n$ -categorías, cuyo $(n-1)-Cat$ -deben ser modelos de tipos homotópicos, etc. En resumen, lo que Grothendieck quería hacer era dar nuevos fundamentos al álgebra homotópica, y esto sigue siendo un trabajo en curso.

David Roberts ofrece en su respuesta las dos referencias disponibles más útiles. Si desea leer las palabras de Grothendieck (y en inglés), espere a la próxima versión anotada de Persiguiendo pilas .

EDIT (2013/10/29): Releyendo esta respuesta, me doy cuenta de que debería añadir algo de lo que no era consciente en el momento de escribirla, todavía en relación con el conocimiento de Grothendieck de la estructura de categorías modelo de Thomason (véase también el comentario de Tim Porter y la respuesta de David Roberts). Una versión anotada de la sección 69 de Pursuing Stacks está disponible en http://www.math.jussieu.fr/~maltsin/groth/ps/ps-69.pdf . En la página 4, Grothendieck escribe que "parece muy dudoso todavía que (Cat) sea una "categoría modelo" en el sentido de Quillen, de cualquier manera razonable (con W, por supuesto, como el conjunto de "equivalencias débiles"". Así pues, entonces no era consciente de la existencia de la estructura de Thomason. Véase también la nota 6 de esa misma página: Grothendieck se enteró de la existencia de la estructura modelo de Thomason entre la redacción de las secciones 69 y 87.

Answer 2

Esto es sólo para responder a su primera pregunta. La segunda no la conozco.

La teoría homotópica de las categorías no es exactamente como usted la concibe. En realidad Grothendieck está pensando en la estructura del modelo de Thomason sobre $Cat$ (la categoría de categorías pequeñas), que es equivalente en Quillen a la estructura modelo de Quillen sobre $sSet$ a través del functor nervio. Entonces Grothedieck consideró pares $(Cat,W)$ donde $W$ es una clase de functores que actuaron como equivalencias débiles. A esto lo llamó localizador básico ( nLab ). Grothendieck conjeturó, y Cisinski demostró, que la clase de equivalencias débiles en la estructura del modelo de Thomason era el localizador básico más pequeño.

De ahí Grothendieck pasó a considerar pares $(C,W)$ para cualquier categoría $C$ y clase $W$ de flechas tal que $C[W^{-1}]$ era equivalente a la categoría de homotopía de los complejos CW, o incluso a la categoría de homotopía de algún localizador básico, y en particular le interesaba saber cuándo $C = Pre(S) = Cat(S^{op},Set)$ en alguna categoría pequeña $S$ . En particular, sabemos que $S=\Delta$ puede utilizarse para recuperar la teoría de homotopía de los complejos CW. La cuestión era caracterizar esos $S$ tal que $(Pre(S),W')$ où $W'$ se heredó de un localizador básico (para más detalles, consulte los trabajos de Cisinski o Maltsiniotis), puede utilizarse para modelar los mismos tipos de homotopía que $Cat$ . Estas categorías $S$ se denominaron categorías de pruebas [débiles/estrictas].

D. Cisinski, Las pre vigas como modelos de tipos homotópicos , Astérisque 308 (2006)

y

G. Maltsiniotis, Teoría de la homotopía de Grothendieck , Astérisque, 301 (2005)

son recursos centrales en este ámbito.

Answer 3

A la primera pregunta ya respondieron David Roberts y Jonathan Chiche. Permítanme abordar la segunda. No es razonable esperar que exista tal estructura modelo. Podemos preguntarnos, en cambio, si existe una estructura modelo sobre conjuntos simpliciales en la que los nervios de las categorías fibrantes (en la estructura modelo de Thomason) sean fibrantes. Y, de hecho, tal estructura modelo existe. Podemos simplemente transferir la estructura modelo de Quillen sobre conjuntos simpliciales a lo largo del functor de doble subdivisión. Obsérvese que la estructura modelo de Thomason puede transferirse ahora a partir de esta nueva estructura modelo. Además, esta estructura modelo sobre conjuntos simpliciales presenta la teoría de homotopía de espacios, ya que las equivalencias débiles en ella son equivalencias débiles ordinarias.

Ahora, sólo para completar, permítanme responder a la pregunta en el post. Por supuesto, hay muchas estructuras modelo sobre conjuntos simpliciales en las que los nervios de las categorías son fibrantes. Por ejemplo, podemos tomar la localización izquierda de Bousfield de la estructura modelo de Joyal con respecto a los mapas $\Delta^n \amalg_{\Lambda^n_k} \Delta^n \to \Delta^n$ . La estructura modelo trivial también cumple las condiciones. Estas estructuras modelo no presentan la teoría de homotopía de espacios. Si queremos mantener la clase de equivalencias débiles igual que en las estructuras modelo de Quillen, entonces puedo demostrar que no hay ninguna estructura modelo en la que los nervios de las categorías sean fibrantes. En realidad, demostraré una afirmación más fuerte:

Si existe una estructura modelo sobre conjuntos simpliciales en la que $\Delta^1$ es fibrante y contractible, entonces su categoría homotópica es delgada.

En primer lugar, tenga en cuenta que si $f : X \to Y$ es una equivalencia débil entre objetos fibrantes y $A$ es cofibrante, entonces $f$ tiene la propiedad de elevación débil a la derecha con respecto a $A$ . Es decir, para cada mapa $g : A \to Y$ existe un mapa $g' : A \to X$ tal que $f \circ g'$ es homotópica a $g$ .

Ahora, dejemos que $A$ sea un conjunto simplicial cofibrante en la hipotética estructura modelo. Consideremos la inclusión del extremo izquierdo $f : \Delta^0 \to \Delta^1$ . Es una equivalencia débil entre objetos fibrantes por los supuestos. Sea $g : A \to \Delta^1$ sea el mapa constante en el otro extremo. Entonces la observación del párrafo anterior implica que $g$ es homotópica a $g'$ el mapa constante en el extremo izquierdo. Sea $A \amalg A \to C(A)$ sea un objeto cilíndrico para $A$ . La observación anterior implica que no hay 1-símplices en $C(A)$ entre dos componentes (si lo hay, entonces $g$ y $g'$ no pueden ser homotópicas).

Así, cualquier objeto cilíndrico $A \amalg A \to C(A)$ es igual a $s_1 \amalg s_2 : A \amalg A \to A_1 \amalg A_2$ para algunos mapas $s_1 : A \to A_1$ y $s_2 : A \to A_2$ . Además, hay retractaciones $r_1 : A_1 \to A$ y $r_2 : A_2 \to A$ de $s_1$ y $s_2$ respectivamente. Así, dos mapas $f,g : A \to B$ son homotópicas si y sólo si $f$ factores a través de $s_1$ y $g$ factores a través de $s_2$ . Pero, puesto que $s_1$ y $s_2$ tienen retracciones, todos los mapas factorizan a través de ellas, por lo que dos mapas cualesquiera son homotópicos. Esto implica que dos mapas cualesquiera de la categoría homotópica son iguales.