Mostrar $E|X|$ es finito.

Question

¿Sabe que para un iid $X_j$ 's, $EXj = 0$ y $EX_j^2 < \infty$ indique $E|X_j|$ ¿también es finito? Cómo demostrarlo.

Podemos decir: $EX_j^2 = E|X_j|^2 < \infty \rightarrow \text{then } E|X_j| < \infty$ Le agradezco su ayuda.

Answer 1

Es una cuestión de definición: E(X) es indefinido cuando X no es integrable. Por lo tanto, suponer que E(X) = 0 es, en particular, suponer que X es integrable, lo cual es necesario para que exista E(X), es decir, suponer que (X es medible y que) E(|X|) es finito.

Answer 2

No es necesario que $E[X_j^2]$ ser finito tampoco. El mero hecho de saber $E[X_j]$ es finito es suficiente. Por ejemplo, consideremos $$ X = n \quad \mbox{w.prob} \quad c\frac{1}{n^3} \quad \forall n \geq 1$$ donde $c=\sum \frac{1}{n^3}$ que, por cierto, converge.

Aquí $E[X^2]$ es infinita pero la media es finita si la calculas.

Para demostrar que $E[X] < \infty$ implica $E[|X|] < \infty$ observe $X=X^+ - X^-$ donde $X^+ = \max(X,0)$ y $X^+ = \max(-X,0)$ . Entonces $$E[X] = E[X^+ - X^-] = EX^+ - EX^-$$ Pero tal como se definen las integrales de Lebesgue, E[X] es finito si y sólo si EX^+ y EX^- son finitos. Esto se debe a la construcción. Así que no se permite que ninguno de los dos términos sea infinito. Así $$E[|X|] = E[X^+] + E[X^-] < \infty$$

Así que en general, usted es condición para $E[X^2] < \infty$ es superfluo.