La intuición de los circuitos RLC

Question

Estoy leyendo Hayt's Engineering Circuit Analysis 9e y hace un trabajo bastante bueno de dar la intuición de "dónde" la energía va en un circuito RLC amortiguado, pero espero que alguien aquí me puede ayudar a conseguir el cierre completo.

Considere un circuito RLC paralelo sin entrada y donde el condensador está inicialmente en algún i(0) distinto de cero.

En primer lugar, espero aclarar por qué la tensión máxima alcanzada por el sistema se produce en el caso de amortiguamiento insuficiente. Intuitivamente, ¿es porque el valor de la resistencia es tan grande que la mayor parte de la corriente fluirá entre el condensador y el inductor (y por lo tanto la energía sólo se intercambia entre los dos en lugar de ser disipada por la resistencia).

Si lo anterior es cierto, entonces estoy tratando de cuadrar eso con el hecho de que el caso ligeramente subamortiguado o críticamente amortiguado tiene el tiempo de asentamiento más corto. Según tengo entendido, el tiempo de estabilización corresponde al tiempo necesario para que se disipe toda la energía. Si, en el caso ligeramente subamortiguado, estamos intercambiando energía entre el condensador y el inductor de forma oscilatoria y, por tanto, la resistencia no está disipando mucha energía, ¿cómo es que ese sistema se estabiliza (bien) antes que el caso sobreamortiguado en el que la resistencia (creo) disipa una gran cantidad de energía porque la resistencia es baja y, por tanto, fluye mucha corriente a través de la resistencia? O estoy confundiendo de alguna manera la disipación de energía con el voltaje aquí.

En general, busco una explicación intuitiva de "adónde va la energía" y por qué "desaparece" más rápidamente en los casos de amortiguación crítica o ligeramente subamortiguada, más que una demostración matemática.

Answer 1

Las resistencias son el equivalente eléctrico de la fricción y producen pérdidas para eliminar energía del sistema. Si dejas caer un péndulo sin fricción para balancearlo, ¿cuánto tiempo tarda en asentarse? Tiempo infinito, porque no hay pérdidas, así que simplemente se balancea hacia adelante y hacia atrás y oscila alrededor de la posición inferior para siempre. La otra cara de la moneda es ¿qué ocurre si el péndulo tiene una fricción infinita? Pues que se queda ahí en la posición alta para siempre, tardando un tiempo infinito en llegar a la posición inferior, aferrándose para siempre a su energía potencial.

Si tienes una fricción no infinita pero alta, tu péndulo va a tardar MUCHO en llegar a la posición inferior. Nunca se sobrepasará, pero tardará mucho tiempo en llegar. Y si tienes muy poca, alcanzará el punto inferior más rápido pero sobrepasará el límite y entonces procederá a oscilar continuamente alrededor de la posición inferior durante mucho tiempo también. Hay un término medio que minimiza mutuamente el tiempo que tarda la energía en disiparse y el tiempo que tarda el péndulo en recorrer un ciclo hasta la posición inferior.

Resistencia = fricción. Disipado en forma de calor (en su mayor parte) en ambos sistemas.

Inductor = almacenamiento de energía cinética. En el péndulo es la velocidad del peso combinada con la masa.

Condensador = almacenamiento potencial de energía. En el péndulo es la energía potencial gravitatoria debida a la masa que se encuentra a una altura.

Quizá te preguntes por qué el condensador es el almacén de energía potencial y el inductor el almacén de energía cinética. Esto se debe a que puedes poner carga en el condensador y luego simplemente mantener la energía allí estáticamente desconectándolo (como sellar el aire en un tanque presurizado o simplemente mantener el péndulo a una altura). Pero en un inductor se requiere que la corriente fluya constantemente a través de él para almacenar energía en su campo magnético, de lo contrario el campo se colapsa (al igual que un péndulo requiere movimiento constante para almacenar energía cinética). No se puede almacenar energía en un inductor ni energía cinética de forma estática. Sólo se puede almacenar dinámicamente.

Por tanto, en ambos péndulos se intercambia energía entre cinética y potencial. El péndulo intercambia velocidad por altura de un lado a otro. En el circuito RLC, el condensador está intercambiando energía con el inductor. Con una resistencia demasiado baja (RLC en paralelo), una resistencia alta (RLC en serie) o una fricción alta, la energía tarda mucho tiempo en transferirse completamente de un medio al otro, pero sobrepasa muy poco una vez que la transferencia se ha completado porque se disipa mucho durante la transferencia, ocurriendo sólo una transferencia en el extremo pero tardando mucho tiempo en hacerlo. Con una resistencia muy alta (RLC en paralelo), baja resistencia (RLC en serie), o baja fricción, una sola transferencia se completa muy rápidamente pero se pierde tan poca energía que queda mucha de ella para ser transferida de vuelta en la otra dirección por lo que pueden ocurrir muchas, muchas transferencias.

Answer 2

La declaración corregida es que el ligeramente El caso menos amortiguado tiene el tiempo de asentamiento más corto.

Ahora bien, ¿por qué ocurre esto si es obvio que un sistema muy poco amortiguado tiene un tiempo de asentamiento muy largo?

La respuesta depende de la definición que se utilice para el tiempo de estabilización: por lo general, se entiende el tiempo que tarda en estabilizarse dentro de un porcentaje determinado del valor en estado estacionario.

Para estabilizarse con precisión en el valor de estado estacionario, un sistema con amortiguación crítica ofrece la respuesta más rápida. Un sistema sobreamortiguado tardará más en alcanzarlo; un sistema infraamortiguado llegará antes, pero se excederá y tardará más en alcanzar el estado estacionario. (Muy poco amortiguado: pasará muchas veces por el punto de estado estacionario).

Pero para estabilizarse dentro del 1% (o 0,1% o 10%) del valor de estado estacionario, se puede mejorar el tiempo de estabilización con amortiguación crítica amortiguando por debajo de dicho valor hasta tal punto que el primer (y peor) sobreimpulso sea sólo dentro de su tolerancia permitida.

Sigue tardando más en alcanzar el valor real de estado estacionario, pero se mantiene dentro de la tolerancia más rápidamente que un sistema amortiguado críticamente. Por tanto, no hay ninguna contradicción.

Answer 3

Generalmente, para un sistema de 2º orden poco amortiguado, el tiempo de estabilización del 2% es de aproximadamente \$\frac{4}{\zeta\:\omega_n}\$ . Pero relacionar este ROT con, digamos, un circuito RLC no es intuitivo ya que cambiar el valor de un componente afectará a ambos \$\zeta\$ y \$\omega_n\$ .

Answer 4

Hay muchas maneras de hacer una línea de transmisión o un filtro RLC mientras que la impedancia \$Zo=\sqrt { \dfrac{L}{C}} \$

El tiempo de establecimiento óptimo se produce cuando las reflexiones se anulan en el espectro dominante, como el de un impulso escalonado , cuando la carga se ajusta al valor característico, Zo. ( relacionado con Teorema de la máxima transferencia de potencia )

Para sistemas superiores al 2º orden Q<1 = 1/ζ Butterworth sobreimpulso crítico distinto de cero debe utilizar valores individuales de Q<1 y Bessel incluso inferiores o más amortiguados, pero en ambos casos el tiempo de establecimiento más rápido se produce cuando R=Zo.

Aquí mi criterio para el tiempo de asentamiento fue cuando el cursor mostró la energía asentándose de 499.999 mW a 500.000 mW o 2 partes por millón.

Abajo se muestra la ausencia de amortiguación con R eliminado y los polos colocados para proporcionar un desplazamiento de fase lineal (Bessel), una atenuación suave en rojo y un tiempo de estabilización rápido cuando se coloca R adaptado.