¿Por qué los puntos de estas curvas se llaman racionales?

Question

Al estudiar curvas definidas sobre campo finito $\mathbb F_q$ se dice que los puntos de la curva son los puntos racionales. ¿Por qué se dice así? Por ejemplo, si $q$ es primo, ¿no estamos diciendo que la curva sólo está formada por los puntos con coeficientes enteros modulo $q$ ?

Obviamente son racionales, pero sólo enteros. ¿Por qué se llaman racionales? ¿En qué caso las coordenadas de los puntos serían racionales y no números enteros (o polinomios con coeficientes enteros si $q$ es una potencia de un primo)?

Answer 1

Es una convención llamar a un punto $P=(x_1,\ldots ,x_n)$ (en una variedad algebraica sobre un campo $K$ ) $K$ -racional o simplemente racional si todos $x_i$ pertenecen al ámbito $K$ . Ver ejemplo $2$ para un punto "racional $P=(\sqrt{2},3)$ en la variedad algebraica dada por la ecuación $3x^2−2y=0$ donde las coordenadas no son números racionales, pero el punto es $K$ -racional con $K=\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ .

Answer 2

Sí, a mí también me desconcertó esta terminología al principio. Algunos autores considerados utilizan una expresión menos confusa, $K$ -puntos valorados. Lo divertido de esta convención es que, a pesar del teorema de Andrew Wiles, la curva de Fermat $x^4+y^4=z^4$ definida sobre los números complejos, ¡tiene un número (en realidad incontable) de puntos racionales! Por ejemplo $(i,i,\sqrt[4]2)$ es uno de ellos.