Sobre la regla de Born y la desigualdad de Cauchy-Schwarz

Question

Citando la regla de Born:

Si un observable correspondiente a un operador autoadjunto ${\textstyle A}$ con espectro discreto se mide en un sistema con función de onda normalizada ${\textstyle |\psi \rangle }$ entonces

• el resultado medido será uno de los valores propios ${\displaystyle \lambda }$ de ${\displaystyle A}$ y
• la probabilidad de medir un valor propio dado ${\displaystyle \lambda _{i}}$ será igual a ${\displaystyle \langle \psi |P_{i}|\psi \rangle }$ où ${\displaystyle P_{i}}$ es la proyección sobre el espacio eigénico de ${\displaystyle A}$ correspondiente a ${\displaystyle \lambda _{i}}$ .

"Prueba" . Si suponemos $\scr H$ finito-dimensional, entonces todo operador lineal autoadjunto es compacto, y por tanto Teorema espectral se aplica:

1. $\displaystyle A =\sum_{\sigma_p(A)} \lambda_i P_i$
2. Los vectores propios $\{\psi_i\}_{i \in \mathbb N}$ de $A$ , cada uno correspondiente a un valor propio diferente $\lambda_i$ forman una base para $\scr H$ .

Utilizando 2., podemos representar cada elemento $\psi \in \scr H$ de la siguiente manera: $\displaystyle \psi = \sum_i \langle \psi_i, \psi \rangle\psi_i$ . Interpretación de Copenhague impone $\| \psi \| ^2 = 1$ . Se deduce entonces, según Identidad de Parseval , $\| \psi \| ^2 = \displaystyle \sum_i |\langle \psi_i, \psi \rangle|^2 $ donde cada número real $ |\langle \psi_i, \psi \rangle|^2 $ debe interpretarse como la probabilidad de obtener el resultado $\lambda_i$ de una medida de $| \psi \rangle$ .

Ahora, usando 1. $\psi_i = P_i \psi$ y recordando que $P$ es un operador positivo, obtenemos $ |\langle \psi_i, \psi \rangle| = \langle \psi_i, \psi \rangle = \langle \psi | P_i | \psi \rangle $ .

Existen dos grandes problemas :

1. Es el cuadrado de $| \langle \psi_i, \psi \rangle | $ que debería importar.

2. Desde $P$ también es idempotente y autoadjunta, se puede manipular aún más $ \langle \psi | P_i | \psi \rangle = \langle \psi | P_iP_i | \psi \rangle = \langle \psi | P_i^{\dagger}P_i | \psi \rangle = \| P_i | \psi \rangle \|^2$ ... pero eso significa

$$| \langle \psi_i, \psi \rangle | = \|\psi_i\|^2$$

Mientras se sigue Desigualdad de Cauchy-Schwarz : $|\langle \psi_i ,\psi \rangle| \leq \|\psi_i\| $ .

No sé, falta algo...

Answer 1

Empecemos por

$$ \psi = \sum\limits_i (\psi_i,\psi) \, \psi_i \quad . $$

Aplicación de $P_j$ produce

$$P_j \, \psi = \sum\limits_i (\psi_i,\psi)\, \underbrace{P_j\, \psi_i}_{= \delta_{ij} \, \psi_j} = (\psi_j,\psi)\, \psi_j \quad $$

y así encontramos

$$(\psi,P_j\, \psi) = |(\psi_j,\psi)|^2 \quad . $$

De forma similar a lo que has hecho, calculamos:

$$ (\psi,P_j\, \psi) = ||P_j\,\psi||^2 = \underbrace{|(\psi_j,\psi)|^2}_{\leq 1} \,||\psi_j||^2 \leq ||\psi_j||^2 \quad . $$

De Cauchy-Schwarz habríamos obtenido el siguiente resultado:

$$(\psi,P_j\,\psi) \leq ||\psi|| \, ||P_j\,\psi|| =|(\psi_j,\psi)| \, ||\psi_j|| \quad . $$ En definitiva, no hay contradicción.