Por un lado, la siguiente conjetura parece razonable, pero por otro no parece natural porque algunos objetos se dualizan mientras que otros no. Agradecería que alguien confirmara la conjetura o diera un contraejemplo.
Sea $G=\mathbb{Z}^d$ y supongamos $A_i$ et $B_i$ son secuencias de $d\times d$ matrices integrales.
Conjetura. Si $$\lim_{\rightarrow}(G,A_i)\cong\lim_{\rightarrow}(G,B_i)$$ entonces $$\lim_{\rightarrow}(G,A_i^T)\cong\lim_{\rightarrow}(G,B_i^T).$$
Aquí $\displaystyle{\lim_{\rightarrow}}$ es el límite directo de los grupos abelianos sobre un diagrama de forma $\mathbb{N}$ et $M^T$ es el transpuesto de la matriz $M$ .
Mi idea inicial era basarme en la propiedad universal del colímite, pero no está del todo claro cómo interpretar la transposición en este contexto, sobre todo porque normalmente se considera una operación contravariante sobre mapas, pero seguimos componiéndolos en el orden anterior (no invertido). No soy teórico de grupos, así que no sé si este tipo de pregunta se suele plantear o si existe alguna maquinaria para abordar cuestiones como ésta.
En cuanto a lo flexible que soy con respecto a los supuestos, no tengo inconveniente en considerar sólo el caso $d=2$ y para $\{A_i\mid i\in\mathbb{N}\}$ et $\{B_i\mid i\in\mathbb{N}\}$ sean conjuntos finitos de matrices no singulares, si estas condiciones adicionales obligan a que la conjetura sea cierta.
