Proposiciones equivalentes a la completitud de los números reales

Question

¿Puede alguien indicarme un artículo (o capítulo de libro) razonablemente completo que explique qué teoremas básicos del cálculo son equivalentes al axioma de completitud de los reales y cuáles no?

Aquí "equivalente" significa equivalente relativo a un sistema base que incluya todos los axiomas de campo ordenado, más la teoría de conjuntos ingenua, más (opcionalmente) los axiomas de Peano (que uno probablemente necesita si quiere usar los números naturales como un conjunto-índice, por ejemplo en la Propiedad de Intervalos Anidados).

Al principio pensé que las matemáticas inversas serían el lugar donde buscar, pero un poco de indagación me lleva ahora a pensar que las matemáticas inversas en el sentido habitual se ocupan de cuestiones más arcanas, con sistemas base que son a la vez más débiles y más fuertes que lo que tengo en mente: El lema del infinito de Konig no es demostrable en todos ellos, pero el Teorema del Valor Intermedio sí.

(Stephen Simpson, en su artículo de Wikipedia http://en.m.wikipedia.org/wiki/Reverse_mathematics escribe: "... RCA0 es suficiente para demostrar una serie de teoremas clásicos que, por lo tanto, sólo requieren una fuerza lógica mínima. Estos teoremas están, en cierto sentido, fuera del alcance de la empresa de matemática inversa porque ya son demostrables en el sistema base. Los teoremas clásicos demostrables en RCA0 incluyen: ... Propiedades básicas de los números reales (los números reales son un campo ordenado arquimediano; cualquier secuencia anidada de intervalos cerrados cuyas longitudes tienden a cero tiene un único punto en su intersección; los números reales no son contables). ... El teorema del valor intermedio sobre funciones reales continuas").

Así pues, puede que las matemáticas inversas no sean el lugar al que acudir en busca de respuestas a preguntas como "¿Es la completitud de los reales equivalente al Teorema del Valor Medio?". (respuesta: sí); pero estoy seguro de que alguien se ha planteado esas preguntas de forma sistemática. Tal vez alguien escribió hace unas décadas un hermoso artículo mensual que explicaba las cosas con tanta claridad que todo el asunto parecía trivial, con el resultado de que el artículo cayó en el olvido :-)

Answer 1

Como el artículo que buscaba no parece existir, he decidido escribirlo yo mismo; el borrador actual puede encontrarse en http://jamespropp.org/reverse.pdf .

Los comentarios son bienvenidos.

Answer 2

EDITAR : Me di cuenta de que entendí mal la pregunta después de publicar la respuesta, así que esto no es una respuesta a la pregunta. Lo dejo aquí por si puede ser interesante para otros.

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Esto se estudia en la matemática inversa acotada por gente como Fernando Ferreira y colegas.

La teoría base BTFA [Fer'94] es una versión de dos teorías ordenadas de la teoría aritmética acotada de Sam Buss $S^1_2(\alpha)$ [Bus85, cap. 9] más recogida/reemplazo acotados para $\Sigma^b_\infty $ fórmulas ( $B\Sigma^b_\infty$ ) más una forma de axioma de comprensión para $\Delta_1$ conjuntos ( $\nabla^b_1CA$ ):

$$\forall x (\forall z \ \varphi(x,z) \leftrightarrow \exists y \ \psi(x,y)) \Rightarrow \exists Z \ \forall x \ (x \in Z \leftrightarrow \exists y \ \psi(x,y))$$

donde $\varphi$ et $\psi$ son respectivamente $\Pi^b_1$ et $\Sigma^b_1$ fórmulas. Se trata de una modificación del axioma de Simpson en su libro [Sim'09]. Debido a su forma especial la parte de primer orden es conservativa sobre $S^1_2$ y es incapaz de utilizar toda la capacidad de comprensión para $\Delta_1$ conjuntos. Por otra parte, la parte de segundo orden del modelo más pequeño de la teoría es $\Delta_1$ conjuntos.

En [FF'02, thm. 4], se demuestra una versión del Teorema del Valor Intermedio en BTFA. Aquí se necesita cierta precaución al formalizar el IVT. Además, la demostración no es constructiva (o bien existe un número racional que es la raíz de la función o bien podemos continuar un proceso acercándonos arbitrariamente a una raíz. Decidir que un número racional dado no es una raíz de la función no es decidible y esto es necesario ya que tenemos que detener el proceso de dividir el intervalo actual en dos mitades si llegamos a una raíz, es decir, necesitamos este supuesto por lo que tenemos $f(m)<0 \ \lor \ f(m)>0$ donde $m$ es el punto medio racional del intervalo actual). Que yo recuerde WKL no es demostrable en BTFA. Véase también [FF'05] y [FF'08].

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Referencias:

1. Fernando Ferreira, " Una teoría factible para el análisis ", The Journal of Symbolic Logic 59, 1001-1011, 1994.

2. António Fernandes y Fernando Ferreira, " Bases para un análisis débil ", The Journal of Symbolic Logic 67, pp. 557-578, 2002.

3. António Fernandes y Fernando Ferreira, " Aplicaciones básicas del lema de König débil en el análisis factible ", en "Reverse Mathematics 2001", editado por Stephen Simpson. Lecture Notes on Logic (Association for Symbolic Logic), vol. 21, pp. 175-188 (A K Peters, 2005).

4. Fernando Ferreira y Gilda Ferreira, " La integral de Riemann en sistemas débiles de análisis ", Journal of Universal Computer Science, 14, nº 6, pp. 908-937 (2008).

5. Samuel R. Buss, " Aritmética limitada ", Bibliopolis, Revisión de la tesis doctoral de 1985.

6. Stephen G. Simpson, " Subsistemas de aritmética de segundo orden ", segunda edición, Perspectives in Logic, Association for Symbolic Logic, Cambridge University Press, 2009.