Integral definida de $\int_{0}^{\pi /4}\tan x\cdotp \ln( 1+\sin 2x)\mathrm dx$

Question

¿Cómo puedo probarlo o refutarlo?

$\displaystyle \int_{0}^{\pi /4}\tan x\cdotp \ln( 1+\sin 2x) \ \mathrm dx=\frac{\pi ^{2}}{48}$ ?

No puedo moverme con esta integral. Cualquier ayuda será apreciada.

Answer 1

Sugerencia

El problema no es demasiado difícil usando el truco de Feynman $$I(a)=\int\limits _{0}^{\frac\pi 4}\tan (x)\, \log( 1+a\sin (2x))\, dx$$ $$I'(a)=\int\limits _{0}^{\frac\pi 4}\frac{\sin (2 x) \tan (x)}{1+a \sin (2 x)}\, dx=2\int\limits _{0}^{1}\frac{ t^2}{\left(t^2+1\right) \left(t^2+2 a t+1\right)}\,dt$$

Utiliza la descomposición en fracciones parciales para obtener los resultados. A continuación, integre $I'(a)$ de $0$ a $1$ sabiendo que $I(0)=0$