He formulado una prueba, pero ¿también un contraejemplo?

Question

Demuestre que f(x) es inyectiva.

$f(x)= \frac{x^2}{1+x^2}$

si $f(x)=f(y)$ entonces $\frac{x^2}{1+x^2}=\frac{y^2}{1+y^2}$

$(x^2)(1+y^2)=(y^2)(1+x^2)$

$x^2+x^2y^2=y^2+x^2y^2$

$x^2 = y^2$

$x = y$

pero $f(1)=f(-1)$ debido a las raíces cuadradas. ¿Dónde me equivoqué en la prueba original?

Answer 1

Si $x^2=y^2$ entonces $x=y$ o $x=-y$ .
Usted supone que sólo $x=y$ .
Ahí está el error.

Answer 2

$x^2 = y^2$ no implica $x = y$ .

$x^2 = y^2 \Leftrightarrow (x = y \mbox{ or } x = -y)$ .